微积分学示例

$\frac{e^{- x} + 1}{e^{x}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = e^{- x} + 1$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2

使用求加法法则求导。

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解题步骤 2.1

将 ${(e^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [e^{- x} + 1] - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $e^{- x} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{x} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 3.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{e^{x} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{e^{x} (e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x} (e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$\frac{e^{x} (- 1 \cdot e^{- x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.3.3

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$\frac{e^{x} (- e^{- x} + \frac{d}{d x} [1]) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{e^{x} (- e^{- x} + 0) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 4.5

将 $- e^{- x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{e^{x} (- e^{- x}) - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 5

通过指数相加将 $e^{x}$ 乘以 $e^{- x}$ 。

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解题步骤 5.1

移动 $e^{- x}$ 。

$\frac{e^{- x} e^{x} \cdot - 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{e^{- x + x} \cdot - 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 5.3

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{e^{0} \cdot - 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 6

化简 $e^{0} \cdot - 1$ 。

$\frac{- 1 - (e^{- x} + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 7

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{- 1 - (e^{- x} + 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{- 1 + (- e^{- x} - 1 \cdot 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$\frac{- 1 - e^{- x} e^{x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.3

化简分子。

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解题步骤 8.3.1

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1.1

通过指数相加将 $e^{- x}$ 乘以 $e^{x}$ 。

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解题步骤 8.3.1.1.1

移动 $e^{x}$ 。

$\frac{- 1 - (e^{x} e^{- x}) - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.3.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 1 - e^{x - x} - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.3.1.1.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{- 1 - e^{0} - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.3.1.2

化简 $- e^{0}$ 。

$\frac{- 1 - 1 - 1 \cdot 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 1 - 1 - 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.3.1.4

将 $- 1 e^{x}$ 重写为 $- e^{x}$ 。

$\frac{- 1 - 1 - e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.3.2

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 2 - e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.4

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$\frac{- 1 (2) - e^{x}}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.5

从 $- e^{x}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (2) - (e^{x})}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.6

从 $- 1 (2) - (e^{x})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (2 + e^{x})}{e^{2 x}}$

解题步骤 8.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 + e^{x}}{e^{2 x}}$

微积分学 示例

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