微积分学示例

$x - \sqrt[3]{x}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x - \sqrt[3]{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$1 - \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 2.7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$1 - (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 2.8

将负号移到分数的前面。

$1 - (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 2.9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$1 - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 2.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

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