微积分学示例

$s = t^{2} \ln (| t |)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (t^{2} \ln (| t |))$

解题步骤 2

$s$ 对 $t$ 的导数为 $s'$ 。

$s'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = \ln (| t |)$ 。

$t^{2} \frac{d}{d t} [\ln (| t |)] + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = \ln (t)$ 且 $g (t) = | t |$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $| t |$ 。

$t^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$t^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.2.3

使用 $| t |$ 替换所有出现的 $u$ 。

$t^{2} (\frac{1}{| t |} \frac{d}{d t} [| t |]) + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.3

组合 $\frac{1}{| t |}$ 和 $t^{2}$ 。

$\frac{t^{2}}{| t |} \frac{d}{d t} [| t |] + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.4

$| t |$ 对 $t$ 的导数为 $\frac{t}{| t |}$ 。

$\frac{t^{2}}{| t |} \cdot \frac{t}{| t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.5

将 $\frac{t^{2}}{| t |}$ 乘以 $\frac{t}{| t |}$ 。

$\frac{t^{2} t}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.6

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 3.6.1.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{t^{2} t^{1}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.6.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{t^{2 + 1}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{t^{3}}{| t | | t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.7

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$\frac{t^{3}}{| t \cdot t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.8

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{t^{3}}{| t^{1} t |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.9

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{t^{3}}{| t^{1} t^{1} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{t^{3}}{| t^{1 + 1} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{t^{3}}{| t^{2} |} + \ln (| t |) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{t^{3}}{| t^{2} |} + \ln (| t |) (2 t)$

解题步骤 3.13

化简。

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解题步骤 3.13.1

重新排序项。

$\frac{t^{3}}{| t^{2} |} + 2 t \ln (| t |)$

解题步骤 3.13.2

化简每一项。

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解题步骤 3.13.2.1

从绝对值中去掉非负项。

$\frac{t^{3}}{t^{2}} + 2 t \ln (| t |)$

解题步骤 3.13.2.2

约去 $t^{3}$ 和 $t^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.13.2.2.1

从 $t^{3}$ 中分解出因数 $t^{2}$ 。

$\frac{t^{2} t}{t^{2}} + 2 t \ln (| t |)$

解题步骤 3.13.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.13.2.2.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{t^{2} t}{t^{2} \cdot 1} + 2 t \ln (| t |)$

解题步骤 3.13.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{t^{2} t}{t^{2} \cdot 1} + 2 t \ln (| t |)$

解题步骤 3.13.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{t}{1} + 2 t \ln (| t |)$

解题步骤 3.13.2.2.2.4

用 $t$ 除以 $1$ 。

$t + 2 t \ln (| t |)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$s' = t + 2 t \ln (| t |)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d s}{d t}$ 替换 $s'$ 。

$\frac{d s}{d t} = t + 2 t \ln (| t |)$

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