微积分学示例

$\frac{5}{x} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{5}{x} - \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 2.4

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2}{x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 。

$- 5 x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$- 5 x^{- 2} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{3}$ 。

$- 5 x^{- 2} - 2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- 5 x^{- 2} - 2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 3.3.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- 5 x^{- 2} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 5 x^{- 2} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 3.5

将 ${(x^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 5 x^{- 2} - 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 3.5.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$- 5 x^{- 2} - 2 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 3.6

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 5 x^{- 2} - 2 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 3.7

通过指数相加将 $x^{- 6}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.7.1

移动 $x^{2}$ 。

$- 5 x^{- 2} - 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 3.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 5 x^{- 2} - 2 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 3.7.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$- 5 x^{- 2} - 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 3.8

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$- 5 x^{- 2} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{x^{4}}$ 重写为 ${(x^{4})}^{- 1}$ 。

$- 5 x^{- 2} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{4}$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{4}$ 。

$- 5 x^{- 2} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- 5 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 4.2.3

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 5 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 5 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})$

解题步骤 4.4

将 ${(x^{4})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 5 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})$

解题步骤 4.4.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$- 5 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - x^{- 8} (4 x^{3})$

解题步骤 4.5

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 5 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 x^{- 8} x^{3}$

解题步骤 4.6

通过指数相加将 $x^{- 8}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.6.1

移动 $x^{3}$ 。

$- 5 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 (x^{3} x^{- 8})$

解题步骤 4.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 5 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 x^{3 - 8}$

解题步骤 4.6.3

从 $3$ 中减去 $8$ 。

$- 5 x^{- 2} + 6 x^{- 4} - 4 x^{- 5}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 5 \frac{1}{x^{2}} + 6 x^{- 4} - 4 x^{- 5}$

解题步骤 5.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 5 \frac{1}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 x^{- 5}$

解题步骤 5.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 5 \frac{1}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 5.4

合并项。

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解题步骤 5.4.1

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{- 5}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 5.4.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{x^{2}} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 5.4.3

组合 $6$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} - 4 \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 5.4.4

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{x^{5}}$ 。

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} + \frac{- 4}{x^{5}}$

解题步骤 5.4.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} - \frac{4}{x^{5}}$

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