微积分学示例

$\int_{0}^{1} \frac{e^{2 x} - e^{- 2 x}}{e^{2 x} + e^{- 2 x}} d x$

解题步骤 1

使 $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ 。然后使 $d u_{3} = (2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}) d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{3} = (e^{2 x} - e^{- 2 x}) d x$ 。使用 $u_{3}$ 和 $d$ $u_{3}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ 。求 $\frac{d u_{3}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $e^{2 x} + e^{- 2 x}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} + e^{- 2 x}]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $e^{2 x} + e^{- 2 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.1.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

解题步骤 1.1.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

解题步骤 1.1.3.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

解题步骤 1.1.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

解题步骤 1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

解题步骤 1.1.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

解题步骤 1.1.3.5

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 2 x$ 。

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解题步骤 1.1.4.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- 2 x$ 。

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.1.4.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 e^{2 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.1.4.1.3

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.1.4.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

解题步骤 1.1.4.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$2 e^{2 x} + e^{- 2 x} \cdot - 2$

解题步骤 1.1.4.5

将 $- 2$ 移到 $e^{- 2 x}$ 的左侧。

$2 e^{2 x} - 2 e^{- 2 x}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = e^{2 \cdot 0} + e^{- 2 \cdot 0}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = e^{0} + e^{- 2 \cdot 0}$

解题步骤 1.3.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$u_{lower} = 1 + e^{- 2 \cdot 0}$

解题步骤 1.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 1 + e^{0}$

解题步骤 1.3.1.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$u_{lower} = 1 + 1$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 2$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{3} = e^{2 x} + e^{- 2 x}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = e^{2 \cdot 1} + e^{- 2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = e^{2} + e^{- 2 \cdot 1}$

解题步骤 1.5.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = e^{2} + e^{- 2}$

解题步骤 1.5.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$u_{upper} = e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$

解题步骤 1.7

使用 $u_{3}$ 、 $d u_{3}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3}} \cdot \frac{1}{2} d u_{3}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{u_{3}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3} \cdot 2} d u_{3}$

解题步骤 2.2

将 $2$ 移到 $u_{3}$ 的左侧。

$\int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{2 u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{3}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}} \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

解题步骤 4

$\frac{1}{u_{3}}$ 对 $u_{3}$ 的积分为 $\ln (| u_{3} |)$ 。

$\frac{1}{2} \ln (| u_{3} |)]_{2}^{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}}$

解题步骤 5

计算 $\ln (| u_{3} |)$ 在 $e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$ 处和在 $2$ 处的值。

$\frac{1}{2} (\ln (| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |) - \ln (| 2 |))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})$

解题步骤 6.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})$ 。

$\frac{\ln (\frac{| e^{2} + \frac{1}{e^{2}} |}{| 2 |})}{2}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

$e^{2} + \frac{1}{e^{2}}$ 约为 $7.52439138$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{\ln (\frac{e^{2} + \frac{1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

解题步骤 7.1.2

要将 $e^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{e^{2}}{e^{2}}$ 。

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2} e^{2}}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

解题步骤 7.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2} e^{2} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

解题步骤 7.1.4

通过指数相加将 $e^{2}$ 乘以 $e^{2}$ 。

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解题步骤 7.1.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{2 + 2} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

解题步骤 7.1.4.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}}{| 2 |})}{2}$

解题步骤 7.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{\ln (\frac{\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}}{2})}{2}$

解题步骤 7.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{e^{2}} \cdot \frac{1}{2})}{2}$

解题步骤 7.4

将 $\frac{e^{4} + 1}{e^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{e^{2} \cdot 2})}{2}$

解题步骤 7.5

将 $2$ 移到 $e^{2}$ 的左侧。

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{2 e^{2}})}{2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{\ln (\frac{e^{4} + 1}{2 e^{2}})}{2}$

小数形式：

$0.66250137 \dots$

解题步骤 9

微积分学 示例

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