微积分学示例

$\int_{- 1}^{0} t^{\frac{1}{3}} - t^{\frac{2}{3}} d t$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 1}^{0} t^{\frac{1}{3}} d t + \int_{- 1}^{0} - t^{\frac{2}{3}} d t$

解题步骤 2

根据幂法则， $t^{\frac{1}{3}}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}$ 。

$\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - t^{\frac{2}{3}} d t$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} t^{\frac{2}{3}} d t$

解题步骤 4

根据幂法则， $t^{\frac{2}{3}}$ 对 $t$ 的积分是 $\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}$ 。

$\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{0} - (\frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}}]_{- 1}^{0})$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{3}{5}$ 和 $t^{\frac{5}{3}}$ 。

$\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{0} - (\frac{3 t^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{0})$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $\frac{3}{4} t^{\frac{4}{3}}$ 在 $0$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$(\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 t^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{0})$

解题步骤 5.2.2

计算 $\frac{3 t^{\frac{5}{3}}}{5}$ 在 $0$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$\frac{3}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3

化简。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$\frac{3}{4} \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.3.1

约去公因数。

$\frac{3}{4} \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3.3.2

重写表达式。

$\frac{3}{4} \cdot 0^{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{3}{4} \cdot 0 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3.5

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $0$ 。

$0 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3.6

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$0 - \frac{3}{4} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3.7

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3.8

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.8.1

约去公因数。

$0 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3.8.2

重写表达式。

$0 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{4} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3.9

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$0 - \frac{3}{4} \cdot 1 - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3.10

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3.11

从 $0$ 中减去 $\frac{3}{4}$ 。

$- \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3.12

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$- \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3.13

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3.14

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.14.1

约去公因数。

$- \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3.14.2

重写表达式。

$- \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3.15

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{3}{4} - (\frac{3 \cdot 0}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3.16

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{3}{4} - (\frac{0}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3.17

约去 $0$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.17.1

从 $0$ 中分解出因数 $5$ 。

$- \frac{3}{4} - (\frac{5 (0)}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3.17.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.17.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$- \frac{3}{4} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3.17.2.2

约去公因数。

$- \frac{3}{4} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3.17.2.3

重写表达式。

$- \frac{3}{4} - (\frac{0}{1} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3.17.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3.18

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5})$

解题步骤 5.2.3.19

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

解题步骤 5.2.3.20

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.20.1

约去公因数。

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5})$

解题步骤 5.2.3.20.2

重写表达式。

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{3 {(- 1)}^{5}}{5})$

解题步骤 5.2.3.21

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{3 \cdot - 1}{5})$

解题步骤 5.2.3.22

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{3}{4} - (0 - \frac{- 3}{5})$

解题步骤 5.2.3.23

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{4} - (0 - - \frac{3}{5})$

解题步骤 5.2.3.24

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{3}{4} - (0 + 1 (\frac{3}{5}))$

解题步骤 5.2.3.25

将 $\frac{3}{5}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3}{4} - (0 + \frac{3}{5})$

解题步骤 5.2.3.26

将 $0$ 和 $\frac{3}{5}$ 相加。

$- \frac{3}{4} - \frac{3}{5}$

解题步骤 5.2.3.27

要将 $- \frac{3}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{5} - \frac{3}{5}$

解题步骤 5.2.3.28

要将 $- \frac{3}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 5.2.3.29

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $20$ 的形式。

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解题步骤 5.2.3.29.1

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$- \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 5.2.3.29.2

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{3 \cdot 5}{20} - \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 5.2.3.29.3

将 $\frac{3}{5}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$- \frac{3 \cdot 5}{20} - \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4}$

解题步骤 5.2.3.29.4

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{3 \cdot 5}{20} - \frac{3 \cdot 4}{20}$

解题步骤 5.2.3.30

在公分母上合并分子。

$\frac{- 3 \cdot 5 - 3 \cdot 4}{20}$

解题步骤 5.2.3.31

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.31.1

将 $- 3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{- 15 - 3 \cdot 4}{20}$

解题步骤 5.2.3.31.2

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 15 - 12}{20}$

解题步骤 5.2.3.31.3

从 $- 15$ 中减去 $12$ 。

$\frac{- 27}{20}$

解题步骤 5.2.3.32

将负号移到分数的前面。

$- \frac{27}{20}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{27}{20}$

小数形式：

$- 1.35$

带分数形式：

$- 1 \frac{7}{20}$

解题步骤 7

微积分学 示例

微积分学示例