微积分学示例

$\int_{36}^{4} 9 \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

解题步骤 1

组合 $9$ 和 $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ 。

$\int_{36}^{4} \frac{9 \ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

解题步骤 2

由于 $9$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$9 \int_{36}^{4} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

解题步骤 3

将 $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ 重写为乘积形式。

$9 \int_{36}^{4} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

解题步骤 4

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (y)$ ， $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ 。

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{y}$ 。

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y)$

解题步骤 5.2

组合 $y^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2}{y}$ 。

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y)$

解题步骤 5.3

将 $2$ 移到 $y^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y)$

解题步骤 5.4

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $y^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y)$

解题步骤 5.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $y$ 乘以 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 5.5.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y)$

解题步骤 5.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y)$

解题步骤 5.5.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y)$

解题步骤 5.5.3

在公分母上合并分子。

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y)$

解题步骤 5.5.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - \int_{36}^{4} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - (2 \int_{36}^{4} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y))$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - 2 \int_{36}^{4} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

解题步骤 7.2

通过将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - 2 \int_{36}^{4} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y)$

解题步骤 7.3

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - 2 \int_{36}^{4} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y)$

解题步骤 7.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - 2 \int_{36}^{4} y^{\frac{- 1}{2}} d y)$

解题步骤 7.3.3

将负号移到分数的前面。

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - 2 \int_{36}^{4} y^{- \frac{1}{2}} d y)$

解题步骤 8

根据幂法则， $y^{- \frac{1}{2}}$ 对 $y$ 的积分是 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 。

$9 (\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{36}^{4} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{36}^{4}))$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ 在 $4$ 处和在 $36$ 处的值。

$9 ((\ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{36}^{4}))$

解题步骤 9.2

计算 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 在 $4$ 处和在 $36$ 处的值。

$9 ((\ln (4) (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$9 (\ln (4) (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$9 (\ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.3.1

约去公因数。

$9 (\ln (4) (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.3.2

重写表达式。

$9 (\ln (4) (2 \cdot 2^{1}) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.4

计算指数。

$9 (\ln (4) (2 \cdot 2) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$9 (\ln (4) \cdot 4 - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.6

将 $4$ 移到 $\ln (4)$ 的左侧。

$9 (4 \cdot \ln (4) - \ln (36) (2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.7

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$9 (4 \ln (4) - \ln (36) (2 \cdot {(6^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.8

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$9 (4 \ln (4) - \ln (36) (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.9.1

约去公因数。

$9 (4 \ln (4) - \ln (36) (2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.9.2

重写表达式。

$9 (4 \ln (4) - \ln (36) (2 \cdot 6^{1}) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.10

计算指数。

$9 (4 \ln (4) - \ln (36) (2 \cdot 6) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.11

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$9 (4 \ln (4) - \ln (36) \cdot 12 - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.12

将 $12$ 乘以 $- 1$ 。

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.13

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.14

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.15

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.15.1

约去公因数。

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.15.2

重写表达式。

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.16

计算指数。

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (2 \cdot 2 - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.17

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 2 \cdot 36^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.18

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 2 \cdot {(6^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 9.3.19

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}))$

解题步骤 9.3.20

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.20.1

约去公因数。

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 2 \cdot 6^{2 (\frac{1}{2})}))$

解题步骤 9.3.20.2

重写表达式。

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 2 \cdot 6^{1}))$

解题步骤 9.3.21

计算指数。

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 2 \cdot 6))$

解题步骤 9.3.22

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 (4 - 12))$

解题步骤 9.3.23

从 $4$ 中减去 $12$ 。

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) - 2 \cdot - 8)$

解题步骤 9.3.24

将 $- 2$ 乘以 $- 8$ 。

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) + 16)$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$9 (4 \ln (4) - 12 \ln (36) + 16)$

小数形式：

$- 193.11344835 \dots$

微积分学 示例

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