微积分学示例

$\int_{0}^{1} \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{3}} d x$

解题步骤 1

使 $u = x^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = x^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $x^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 x$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = x^{2} + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = x^{2} + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 1 + 1$

解题步骤 1.5.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{u^{3}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

解题步骤 2.2

将 $2$ 移到 $u^{3}$ 的左侧。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{2 u^{3}} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u^{3}} d u$

解题步骤 4

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1

通过将 $u^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} {(u^{3})}^{- 1} d u$

解题步骤 4.2

将 ${(u^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{3 \cdot - 1} d u$

解题步骤 4.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{- 3} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{- 3}$ 对 $u$ 的积分是 $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ 。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} u^{- 2}]_{1}^{2}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((- \frac{1}{2} \cdot 2^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

解题步骤 6.2.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

解题步骤 6.2.3

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{4 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

解题步骤 6.2.4

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2})$

解题步骤 6.2.5

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

解题步骤 6.2.6

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2})$

解题步骤 6.2.7

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4})$

解题步骤 6.2.8

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $8$ 的形式。

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解题步骤 6.2.8.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{4}{2 \cdot 4})$

解题步骤 6.2.8.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{8} + \frac{4}{8})$

解题步骤 6.2.9

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4}{8}$

解题步骤 6.2.10

将 $- 1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8}$

解题步骤 6.2.11

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3}{8}$ 。

$\frac{3}{2 \cdot 8}$

解题步骤 6.2.12

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{3}{16}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{3}{16}$

小数形式：

$0.1875$

解题步骤 8

微积分学 示例

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