微积分学示例

\int {csc}^{3} (x) d x

$\int \csc^{3} (x) d x$

解题步骤 1

应用归约公式。

- \frac{cot (x) csc (x)}{2} + \frac{1}{2} \int csc (x) d x

$- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} \int \csc (x) d x$

解题步骤 2

csc (x)

$\csc (x)$ 对

x

$x$ 的积分为

ln (| csc (x) - cot (x) |)

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ 。

- \frac{cot (x) csc (x)}{2} + \frac{1}{2} (ln (| csc (x) - cot (x) |) + C)

$- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C)$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

将

- \frac{cot (x) csc (x)}{2} + \frac{1}{2} (ln (| csc (x) - cot (x) |) + C)

$- \frac{\cot (x) \csc (x)}{2} + \frac{1}{2} (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C)$ 重写为

- \frac{1}{2} cot (x) csc (x) + \frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |) + C

$- \frac{1}{2} \cot (x) \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$ 。

- \frac{1}{2} cot (x) csc (x) + \frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |) + C

$- \frac{1}{2} \cot (x) \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

组合

cot (x)

$\cot (x)$ 和

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 。

- \frac{cot (x)}{2} csc (x) + \frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |) + C

$- \frac{\cot (x)}{2} \csc (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

解题步骤 3.2.2

组合

csc (x)

$\csc (x)$ 和

\frac{cot (x)}{2}

$\frac{\cot (x)}{2}$ 。

- \frac{csc (x) cot (x)}{2} + \frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |) + C

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) + C$

解题步骤 3.2.3

要将

\frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |)

$\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ 。

- \frac{csc (x) cot (x)}{2} + \frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |) \cdot \frac{2}{2} + C

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot \frac{2}{2} + C$

解题步骤 3.2.4

组合

\frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |)

$\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ 和

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ 。

- \frac{csc (x) cot (x)}{2} + \frac{\frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |) \cdot 2}{2} + C

$- \frac{\csc (x) \cot (x)}{2} + \frac{\frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 3.2.5

在公分母上合并分子。

\frac{- csc (x) cot (x) + \frac{1}{2} ln (| csc (x) - cot (x) |) \cdot 2}{2} + C

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{1}{2} \ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 3.2.6

组合

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ 和

ln (| csc (x) - cot (x) |)

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ 。

\frac{- csc (x) cot (x) + \frac{ln (| csc (x) - cot (x) |)}{2} \cdot 2}{2} + C

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2} \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 3.2.7

组合

\frac{ln (| csc (x) - cot (x) |)}{2}

$\frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}$ 和

2

$2$ 。

\frac{- csc (x) cot (x) + \frac{ln (| csc (x) - cot (x) |) \cdot 2}{2}}{2} + C

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{\ln (| \csc (x) - \cot (x) |) \cdot 2}{2}}{2} + C$

解题步骤 3.2.8

将

2

$2$ 移到

ln (| csc (x) - cot (x) |)

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ 的左侧。

\frac{- csc (x) cot (x) + \frac{2 \cdot ln (| csc (x) - cot (x) |)}{2}}{2} + C

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{2 \cdot \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}}{2} + C$

解题步骤 3.2.9

约去

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.9.1

约去公因数。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{2 \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2}}{2} + C$

解题步骤 3.2.9.2

用

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ 除以

$1$ 。

$\frac{- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)}{2} + C$

解题步骤 3.3

重新排序项。

$\frac{1}{2} (- \csc (x) \cot (x) + \ln (| \csc (x) - \cot (x) |)) + C$

微积分学 示例

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