微积分学示例

$\int_{- 1}^{1} (4 x^{2} - 1) (x + 3) d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

运用分配律。

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2} (x + 3) - 1 (x + 3) d x$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 3 - 1 (x + 3) d x$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 3 - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

解题步骤 1.4

移动 $x^{2}$ 。

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2} x + 4 \cdot 3 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

解题步骤 1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{- 1}^{1} 4 (x^{2} x^{1}) + 4 \cdot 3 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

解题步骤 1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{2 + 1} + 4 \cdot 3 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

解题步骤 1.7

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} + 4 \cdot 3 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

解题步骤 1.8

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} + 12 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 3 d x$

解题步骤 1.9

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} + 12 x^{2} - 1 x - 3 d x$

解题步骤 2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} + 12 x^{2} - x - 3 d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{- 1}^{1} 4 x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 12 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

解题步骤 4

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int_{- 1}^{1} x^{3} d x + \int_{- 1}^{1} 12 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 12 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} 12 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

解题步骤 7

由于 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $12$ 移到积分外。

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

解题步骤 11

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 3 d x$

解题步骤 13

应用常数不变法则。

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 1}^{1}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

解题步骤 14

代入并化简。

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解题步骤 14.1

计算 $\frac{x^{4}}{4}$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$4 ((\frac{1^{4}}{4}) - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

解题步骤 14.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

解题步骤 14.3

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 3 x]_{- 1}^{1}$

解题步骤 14.4

计算 $- 3 x$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$4 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5

化简。

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解题步骤 14.5.1

一的任意次幂都为一。

$4 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 1)}^{4}}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$4 (\frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.3

在公分母上合并分子。

$4 \frac{1 - 1}{4} + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.4

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$4 (\frac{0}{4}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.5

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 14.5.5.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \frac{4 (0)}{4} + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.5.2

约去公因数。

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解题步骤 14.5.5.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.5.2.2

约去公因数。

$4 \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.5.2.3

重写表达式。

$4 (\frac{0}{1}) + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.5.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$4 \cdot 0 + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.6

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$0 + 12 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.7

一的任意次幂都为一。

$0 + 12 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.8

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$0 + 12 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.9

将负号移到分数的前面。

$0 + 12 (\frac{1}{3} - - \frac{1}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.10

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 12 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.11

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$0 + 12 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.12

在公分母上合并分子。

$0 + 12 \frac{1 + 1}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.13

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$0 + 12 (\frac{2}{3}) - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.14

组合 $12$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$0 + \frac{12 \cdot 2}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.15

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$0 + \frac{24}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.16

约去 $24$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 14.5.16.1

从 $24$ 中分解出因数 $3$ 。

$0 + \frac{3 \cdot 8}{3} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.16.2

约去公因数。

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解题步骤 14.5.16.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$0 + \frac{3 \cdot 8}{3 (1)} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.16.2.2

约去公因数。

$0 + \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.16.2.3

重写表达式。

$0 + \frac{8}{1} - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.16.2.4

用 $8$ 除以 $1$ 。

$0 + 8 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.17

将 $0$ 和 $8$ 相加。

$8 - (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.18

一的任意次幂都为一。

$8 - (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.19

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.20

在公分母上合并分子。

$8 - \frac{1 - 1}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.21

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$8 - \frac{0}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.22

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.5.22.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 - \frac{2 (0)}{2} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.22.2

约去公因数。

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解题步骤 14.5.22.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.22.2.2

约去公因数。

$8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.22.2.3

重写表达式。

$8 - \frac{0}{1} - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.22.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$8 - 0 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.23

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$8 + 0 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.24

将 $8$ 和 $0$ 相加。

$8 - 3 \cdot 1 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.25

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$8 - 3 + 3 \cdot - 1$

解题步骤 14.5.26

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$8 - 3 - 3$

解题步骤 14.5.27

从 $- 3$ 中减去 $3$ 。

$8 - 6$

解题步骤 14.5.28

从 $8$ 中减去 $6$ 。

$2$

解题步骤 15

微积分学 示例

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