微积分学示例

$\int \sin (\ln (x)) d x$

解题步骤 1

使 $u = \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

$\int e^{u} \sin (u) d u$

解题步骤 2

将 $e^{u}$ 和 $\sin (u)$ 重新排序。

$\int \sin (u) e^{u} d u$

解题步骤 3

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = \sin (u)$ ， $dv = e^{u}$ 。

$\sin (u) e^{u} - \int e^{u} \cos (u) d u$

解题步骤 4

将 $e^{u}$ 和 $\cos (u)$ 重新排序。

$\sin (u) e^{u} - \int \cos (u) e^{u} d u$

解题步骤 5

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = \cos (u)$ ， $dv = e^{u}$ 。

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - \int e^{u} (- \sin (u)) d u)$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} - - \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

解题步骤 7

通过相乘进行化简。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + 1 \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

解题步骤 7.2

将 $\int e^{u} (\sin (u)) d u$ 乘以 $1$ 。

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u} + \int e^{u} (\sin (u)) d u)$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u}) - \int e^{u} (\sin (u)) d u$

解题步骤 8

求解 $\int e^{u} \sin (u) d u$ ，我们发现 $\int e^{u} \sin (u) d u$ = $\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2}$ 。

$\frac{\sin (u) e^{u} - (\cos (u) e^{u})}{2} + C$

解题步骤 9

将 $\frac{\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}}{2} + C$ 重写为 $\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$ 。

$\frac{1}{2} (\sin (u) e^{u} - \cos (u) e^{u}) + C$

解题步骤 10

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) e^{\ln (x)} - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) e^{\ln (x)}) + C$

解题步骤 11.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x - \cos (\ln (x)) x) + C$

解题步骤 11.3

运用分配律。

$\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x) + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

解题步骤 11.4

乘以 $\frac{1}{2} (\sin (\ln (x)) x)$ 。

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解题步骤 11.4.1

组合 $\sin (\ln (x))$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\sin (\ln (x))}{2} x + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

解题步骤 11.4.2

组合 $\frac{\sin (\ln (x))}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x) + C$

解题步骤 11.5

乘以 $\frac{1}{2} (- \cos (\ln (x)) x)$ 。

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解题步骤 11.5.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (\ln (x))$ 。

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{\cos (\ln (x))}{2} x + C$

解题步骤 11.5.2

组合 $x$ 和 $\frac{\cos (\ln (x))}{2}$ 。

$\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

解题步骤 11.6

将 $\frac{\sin (\ln (x)) x}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2}$ 中的因式重新排序。

$\frac{x \sin (\ln (x))}{2} - \frac{x \cos (\ln (x))}{2} + C$

解题步骤 12

去掉圆括号。

$\frac{1}{2} x \sin (\ln (x)) - \frac{1}{2} x \cos (\ln (x)) + C$

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