微积分学示例

$\int \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 1

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 2

用 $x^{2}$ 除以 $x^{2} + 9$ 。

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解题步骤 2.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

解题步骤 2.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

解题步骤 2.3

将新的商式项乘以除数。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$9$

解题步骤 2.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + 0 + 9$ 中的所有符号

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$9$

解题步骤 2.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$9$
									-	$9$

解题步骤 2.6

最终答案为商加上余数除以除数。

$4 \int 1 - \frac{9}{x^{2} + 9} d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$4 (\int d x + \int - \frac{9}{x^{2} + 9} d x)$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$4 (x + C + \int - \frac{9}{x^{2} + 9} d x)$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 (x + C - \int \frac{9}{x^{2} + 9} d x)$

解题步骤 6

由于 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$4 (x + C - (9 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x))$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (x + C - 9 \int \frac{1}{x^{2} + 9} d x)$

解题步骤 7.2

将 $x^{2}$ 和 $9$ 重新排序。

$4 (x + C - 9 \int \frac{1}{9 + x^{2}} d x)$

解题步骤 7.3

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$4 (x + C - 9 \int \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x)$

解题步骤 8

$\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ 对 $x$ 的积分为 $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C$ 。

$4 (x + C - 9 (\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3}) + C))$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\arctan (\frac{x}{3})$ 。

$4 (x + C - 9 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3} + C))$

解题步骤 9.2

化简。

$4 (x - 3 \arctan (\frac{x}{3})) + C$

解题步骤 9.3

重新排序项。

$4 (x - 3 \arctan (\frac{1}{3} x)) + C$

微积分学 示例

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