微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 9}$ 重写成 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 9$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 9$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

解题步骤 1.2.3

使用 $x^{2} + 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

解题步骤 1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

解题步骤 1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

解题步骤 1.5

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

解题步骤 1.6

化简分子。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

解题步骤 1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

解题步骤 1.7

合并分数。

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解题步骤 1.7.1

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

解题步骤 1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

解题步骤 1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

解题步骤 1.8

根据加法法则， $x^{2} + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9))$

解题步骤 1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (9))$

解题步骤 1.10

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

解题步骤 1.11

化简项。

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解题步骤 1.11.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)$

解题步骤 1.11.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

解题步骤 1.11.3

组合 $\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.4

约去公因数。

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.11.5

重写表达式。

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 ${({(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.3

化简。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.4.2

将 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 9$ 。

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解题步骤 2.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 9$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.5.3

使用 $x^{2} + 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.8

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.9

化简分子。

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解题步骤 2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.10

合并分数。

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解题步骤 2.10.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.10.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.10.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.10.4

组合 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.11

根据加法法则， $x^{2} + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9))}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (9))}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.13

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.14

合并分数。

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解题步骤 2.14.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.14.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.14.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.14.4

组合 $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.16

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.18

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.19

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.20

约去公因数。

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解题步骤 2.20.1

从 $2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.20.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.20.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.21

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.22

要将 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.23

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.24

通过指数相加将 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.24.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.24.2

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.24.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.24.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{(x^{2} + 9) - x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.25

化简 ${(x^{2} + 9)}^{1}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{x^{2} + 9 - x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.26

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{0 + 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.27

将 $0$ 和 $9$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.28

将 $\frac{\frac{9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 9}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = \frac{9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 9}$

解题步骤 2.29

将 $\frac{9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} + 9}$ 。

$f'' (x) = \frac{9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 9)}$

解题步骤 2.30

通过指数相加将 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} + 9$ 。

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解题步骤 2.30.1

将 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} + 9$ 。

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解题步骤 2.30.1.1

对 $x^{2} + 9$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 9)}$

解题步骤 2.30.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 2.30.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (x) = \frac{9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.30.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 2.30.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 3.1.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}]$ 。

$f''' (x) = 9 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 3.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $\frac{1}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}$ 重写为 ${({(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 。

$f''' (x) = 9 \frac{d}{d x} ({({(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})$

解题步骤 3.1.2.2

将 ${({(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f''' (x) = 9 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2} \cdot - 1})$

解题步骤 3.1.2.2.2

乘以 $\frac{3}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.1.2.2.2.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $- 1$ 。

$f''' (x) = 9 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 9)}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}})$

解题步骤 3.1.2.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = 9 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 9)}^{\frac{- 3}{2}})$

解题步骤 3.1.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = 9 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 9)}^{- \frac{3}{2}})$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 9$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 9$ 。

$f''' (x) = 9 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{3}{2}$ 。

$f''' (x) = 9 (- \frac{3}{2} u^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

解题步骤 3.2.3

使用 $x^{2} + 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f''' (x) = 9 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{- \frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

解题步骤 3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f''' (x) = 9 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

解题步骤 3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f''' (x) = 9 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$f''' (x) = 9 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = 9 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

解题步骤 3.6.2

从 $- 3$ 中减去 $2$ 。

$f''' (x) = 9 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

解题步骤 3.7

合并分数。

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解题步骤 3.7.1

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = 9 (- \frac{3}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{- \frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

解题步骤 3.7.2

组合 ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{5}{2}}$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$f''' (x) = 9 (- \frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

解题步骤 3.7.3

化简表达式。

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解题步骤 3.7.3.1

将 $3$ 移到 ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{5}{2}}$ 的左侧。

$f''' (x) = 9 (- \frac{3 \cdot {(x^{2} + 9)}^{- \frac{5}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

解题步骤 3.7.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{5}{2}}$ 移动到分母。

$f''' (x) = 9 (- \frac{3}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

解题步骤 3.7.3.3

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$f''' (x) = - 9 (\frac{3}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))$

解题步骤 3.7.4

组合 $\frac{3}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$ 和 $- 9$ 。

$f''' (x) = \frac{3 \cdot - 9}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

解题步骤 3.7.5

化简表达式。

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解题步骤 3.7.5.1

将 $3$ 乘以 $- 9$ 。

$f''' (x) = \frac{- 27}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

解题步骤 3.7.5.2

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = - \frac{27}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)$

解题步骤 3.8

根据加法法则， $x^{2} + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$f''' (x) = - \frac{27}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9))$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f''' (x) = - \frac{27}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (9))$

解题步骤 3.10

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f''' (x) = - \frac{27}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

解题步骤 3.11

化简项。

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解题步骤 3.11.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = - \frac{27}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}} \cdot (2 x)$

解题步骤 3.11.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = - 2 \frac{27}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

解题步骤 3.11.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{27}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$ 。

$f''' (x) = \frac{- 2 \cdot 27}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

解题步骤 3.11.4

将 $- 2$ 乘以 $27$ 。

$f''' (x) = \frac{- 54}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}} \cdot x$

解题步骤 3.11.5

组合 $\frac{- 54}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f''' (x) = \frac{- 54 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.11.6

从 $- 54 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f''' (x) = \frac{2 (- 27 x)}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.12

约去公因数。

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解题步骤 3.12.1

从 $2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f''' (x) = \frac{2 (- 27 x)}{2 ({(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}})}$

解题步骤 3.12.2

约去公因数。

$f''' (x) = \frac{2 (- 27 x)}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.12.3

重写表达式。

$f''' (x) = \frac{- 27 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.13

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = - \frac{27 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

因为 $- 27$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{27 x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 27 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}]$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 4.2

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}{{({(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.3.1

将 ${({(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.3.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.2.1

约去公因数。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.3.1.2.2

重写表达式。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.3.3

将 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 9$ 。

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解题步骤 4.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 9$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{5}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{2}$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.4.3

使用 $x^{2} + 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.7

在公分母上合并分子。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.8

化简分子。

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解题步骤 4.8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.8.2

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5}{2} \cdot {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.9

合并分数。

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解题步骤 4.9.1

组合 $\frac{5}{2}$ 和 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - x (\frac{5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9))}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.9.2

组合 $\frac{5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.10

根据加法法则， $x^{2} + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (9))}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (9))}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.12

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.13

合并分数。

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解题步骤 4.13.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - \frac{5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.13.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - 2 \frac{5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.13.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x}{2}$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 2 (5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.13.4

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x)}{2} \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.13.5

组合 $\frac{- 10 ({(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x)}{2}$ 和 $x$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x) x}{2}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.14

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot x))}{2}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x^{1 + 1})}{2}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.17

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 10 ({(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.18

从 $- 10 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.19

约去公因数。

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解题步骤 4.19.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 (1)}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.19.2

约去公因数。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (- 5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.19.3

重写表达式。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} + \frac{- 5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{1}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.19.4

用 $- 5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ 除以 $1$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - 5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.20

从 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - 5 {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} x^{2}$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 4.20.1

移动 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}} - 5 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.20.2

从 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.20.3

从 $- 5 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (- 5 x^{2})}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4

从 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} {(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} + {(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (- 5 x^{2})$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} ({(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.21

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.21.1

约去公因数。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} ({(x^{2} + 9)}^{\frac{2}{2}} - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.21.2

重写表达式。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} ((x^{2} + 9) - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.22

化简。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (x^{2} + 9 - 5 x^{2})}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.23

从 $x^{2}$ 中减去 $5 x^{2}$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}} (- 4 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{5}}$

解题步骤 4.24

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(x^{2} + 9)}^{\frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{- 4 x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{5} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.25

通过指数相加将 ${(x^{2} + 9)}^{5}$ 乘以 ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 4.25.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{- 4 x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{5 - \frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.25.2

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{- 4 x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.25.3

组合 $5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{- 4 x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.25.4

在公分母上合并分子。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{- 4 x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{5 \cdot 2 - 3}{2}}}$

解题步骤 4.25.5

化简分子。

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解题步骤 4.25.5.1

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{- 4 x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{10 - 3}{2}}}$

解题步骤 4.25.5.2

从 $10$ 中减去 $3$ 。

$f^{4} (x) = - 27 \frac{- 4 x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$

解题步骤 4.26

组合 $- 27$ 和 $\frac{- 4 x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{- 27 (- 4 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$

解题步骤 4.27

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = - \frac{(27) (- 4 x^{2} + 9)}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$

解题步骤 4.28

化简。

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解题步骤 4.28.1

运用分配律。

$f^{4} (x) = - \frac{27 (- 4 x^{2}) + 27 \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$

解题步骤 4.28.2

化简每一项。

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解题步骤 4.28.2.1

将 $- 4$ 乘以 $27$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{- 108 x^{2} + 27 \cdot 9}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$

解题步骤 4.28.2.2

将 $27$ 乘以 $9$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{- 108 x^{2} + 243}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $- \frac{- 108 x^{2} + 243}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$ 。

$- \frac{- 108 x^{2} + 243}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{7}{2}}}$

微积分学 示例

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