微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

解题步骤 1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 1.5

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 1.6

化简分子。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

解题步骤 1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

解题步骤 1.7

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 1.8

化简。

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解题步骤 1.8.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.8.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

解题步骤 2.2.2

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

解题步骤 2.2.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 2.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

解题步骤 2.7.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

解题步骤 2.8

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

解题步骤 2.9

组合 $x^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

解题步骤 2.10

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.11

化简表达式。

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解题步骤 2.11.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{4}$

解题步骤 2.11.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $- \frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$

解题步骤 3.2.2

将 ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}$

解题步骤 3.2.2.2

乘以 $\frac{3}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.2.2.2.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $- 1$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}$

解题步骤 3.2.2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 3}{2}}$

解题步骤 3.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{3}{2}$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

解题步骤 3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 3.6

在公分母上合并分子。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 3.7

化简分子。

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解题步骤 3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

解题步骤 3.7.2

从 $- 3$ 中减去 $2$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

解题步骤 3.8

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

解题步骤 3.9

组合 $x^{- \frac{5}{2}}$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$f''' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

解题步骤 3.10

乘。

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解题步骤 3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = 1 (\frac{1}{4}) \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

解题步骤 3.10.2

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

解题步骤 3.11

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ 。

$f''' (x) = \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{4 \cdot 2}$

解题步骤 3.12

化简表达式。

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解题步骤 3.12.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{8}$

解题步骤 3.12.2

将 $3$ 移到 $x^{- \frac{5}{2}}$ 的左侧。

$f''' (x) = \frac{3 \cdot x^{- \frac{5}{2}}}{8}$

解题步骤 3.12.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{5}{2}}$ 移动到分母。

$f''' (x) = \frac{3}{8 x^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

因为 $\frac{3}{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3}{8 x^{\frac{5}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$ 。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}})$

解题步骤 4.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1})$

解题步骤 4.2.2

将 ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{2} \cdot - 1})$

解题步骤 4.2.2.2

乘以 $\frac{5}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.2.2.2.1

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{5 \cdot - 1}{2}})$

解题步骤 4.2.2.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 5}{2}})$

解题步骤 4.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{5}{2}})$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{5}{2}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1})$

解题步骤 4.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 4.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 4.6

在公分母上合并分子。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 4.7

化简分子。

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解题步骤 4.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 2}{2}})$

解题步骤 4.7.2

从 $- 5$ 中减去 $2$ 。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 7}{2}})$

解题步骤 4.8

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{5}{2} x^{- \frac{7}{2}})$

解题步骤 4.9

组合 $x^{- \frac{7}{2}}$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{3}{8} \cdot (- \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2})$

解题步骤 4.10

将 $\frac{3}{8}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{3 (x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5)}{8 \cdot 2}$

解题步骤 4.11

乘。

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解题步骤 4.11.1

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{15 x^{- \frac{7}{2}}}{8 \cdot 2}$

解题步骤 4.11.2

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{15 x^{- \frac{7}{2}}}{16}$

解题步骤 4.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{7}{2}}$ 移动到分母。

$f^{4} (x) = - \frac{15}{16 x^{\frac{7}{2}}}$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $- \frac{15}{16 x^{\frac{7}{2}}}$ 。

$- \frac{15}{16 x^{\frac{7}{2}}}$

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