微积分学示例

$\frac{1}{2} x^{2} \sqrt{25 - x^{2}}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} \sqrt{25 - x^{2}}]$

解题步骤 1.2

合并分数。

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解题步骤 1.2.1

组合 $\frac{x^{2}}{2}$ 和 $\sqrt{25 - x^{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} \sqrt{25 - x^{2}}}{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{25 - x^{2}}$ 重写成 ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}]$

解题步骤 1.3

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 25 - x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $25 - x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3

使用 $25 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 8

合并分数。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{{(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 8.4

组合 $\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}] + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 9

根据加法法则， $25 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 10

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 14

合并分数。

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解题步骤 14.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 14.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 14.3

组合 $\frac{- 2 x^{2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} x}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 (x^{1} x^{2})}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{1 + 2}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 17

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{3}}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 18

从 $- 2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 19

约去公因数。

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解题步骤 19.1

从 $2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 ({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 19.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 19.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} (\frac{- x^{3}}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 20

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 21

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

解题步骤 22

重新排序。

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解题步骤 22.1

将 $2$ 移到 ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x)$

解题步骤 22.2

移动 ${(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 23

要将 $2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 24

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 25

通过指数相加将 ${(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 25.1

移动 ${(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x ({(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 25.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 25.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 25.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 25.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 25)}^{1}}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26

化简 $2 x {(- x^{2} + 25)}^{1}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 25)}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 27

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 25)}{{(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 25)}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 28

化简。

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解题步骤 28.1

运用分配律。

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 28.2

化简分子。

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解题步骤 28.2.1

化简每一项。

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解题步骤 28.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 28.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 28.2.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 28.2.1.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 28.2.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 28.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 28.2.1.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 28.2.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 2 x \cdot 25}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 28.2.1.4

将 $25$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 50 x}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 28.2.2

从 $- x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$\frac{- 3 x^{3} + 50 x}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 28.3

从 $- 3 x^{3} + 50 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 28.3.1

从 $- 3 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- 3 x^{2}) + 50 x}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 28.3.2

从 $50 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- 3 x^{2}) + x \cdot 50}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 28.3.3

从 $x (- 3 x^{2}) + x \cdot 50$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (- 3 x^{2} + 50)}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 28.4

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (- (3 x^{2}) + 50)}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 28.5

将 $50$ 重写为 $- 1 (- 50)$ 。

$\frac{x (- (3 x^{2}) - 1 (- 50))}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 28.6

从 $- (3 x^{2}) - 1 (- 50)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x (- (3 x^{2} - 50))}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 28.7

将 $- (3 x^{2} - 50)$ 重写为 $- 1 (3 x^{2} - 50)$ 。

$\frac{x (- 1 (3 x^{2} - 50))}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 28.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x (3 x^{2} - 50)}{2 {(- x^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

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