微积分学示例

$- x + \frac{1}{x} + 1$

解题步骤 1

根据加法法则， $- x + \frac{1}{x} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$- 1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- 1 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 1 - x^{- 2} + 0$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 1 - \frac{1}{x^{2}} + 0$

解题步骤 5.2

将 $- 1 - \frac{1}{x^{2}}$ 和 $0$ 相加。

$- 1 - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$- \frac{1}{x^{2}} - 1$

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