微积分学示例

$x^{\frac{1}{x}}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1

将 $x^{\frac{1}{x}}$ 重写为 $e^{\ln (x^{\frac{1}{x}})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\frac{1}{x}})}]$

解题步骤 1.2

通过将 $\frac{1}{x}$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{\frac{1}{x}})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x} \ln (x)}]$

解题步骤 2

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\ln (x)$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (x)}{x}}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{\ln (x)}{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

解题步骤 3.3

使用 $\frac{\ln (x)}{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

解题步骤 4

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x$ 。

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 5

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 6

使用幂法则求微分。

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解题步骤 6.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 6.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

约去公因数。

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 6.2.2

重写表达式。

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 6.4

合并分数。

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解题步骤 6.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{\ln (x)}{x}} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 6.4.2

组合 $e^{\frac{\ln (x)}{x}}$ 和 $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} \cdot 1 + e^{\frac{\ln (x)}{x}} (- \ln (x))}{x^{2}}$

解题步骤 7.2

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1

将 $e^{\frac{\ln (x)}{x}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} + e^{\frac{\ln (x)}{x}} (- \ln (x))}{x^{2}}$

解题步骤 7.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{e^{\frac{\ln (x)}{x}} - e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 7.3

重新排序项。

$\frac{- e^{\frac{\ln (x)}{x}} \ln (x) + e^{\frac{\ln (x)}{x}}}{x^{2}}$

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