微积分学示例

${(4 x + 5)}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(4 x + 5)}^{2}$ 重写为 $(4 x + 5) (4 x + 5)$ 。

$\frac{d}{d x} [(4 x + 5) (4 x + 5)]$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(4 x + 5) (4 x + 5)$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x + 5) + 5 (4 x + 5)]$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot 5 + 5 (4 x + 5)]$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [4 x (4 x) + 4 x \cdot 5 + 5 (4 x) + 5 \cdot 5]$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot 5 + 5 (4 x) + 5 \cdot 5]$

解题步骤 3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 5 + 5 (4 x) + 5 \cdot 5]$

解题步骤 3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot 5 + 5 (4 x) + 5 \cdot 5]$

解题步骤 3.1.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} + 4 x \cdot 5 + 5 (4 x) + 5 \cdot 5]$

解题步骤 3.1.4

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} + 20 x + 5 (4 x) + 5 \cdot 5]$

解题步骤 3.1.5

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} + 20 x + 20 x + 5 \cdot 5]$

解题步骤 3.1.6

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} + 20 x + 20 x + 25]$

解题步骤 3.2

将 $20 x$ 和 $20 x$ 相加。

$\frac{d}{d x} [16 x^{2} + 40 x + 25]$

解题步骤 4

根据加法法则， $16 x^{2} + 40 x + 25$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [25]$ 。

$\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 5

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$16 (2 x) + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 7

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$32 x + \frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 8

因为 $40$ 对于 $x$ 是常数，所以 $40 x$ 对 $x$ 的导数是 $40 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$32 x + 40 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$32 x + 40 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 10

将 $40$ 乘以 $1$ 。

$32 x + 40 + \frac{d}{d x} [25]$

解题步骤 11

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$32 x + 40 + 0$

解题步骤 12

将 $32 x + 40$ 和 $0$ 相加。

$32 x + 40$

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