微积分学示例

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.3.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.2.2

重写表达式。

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 1 - \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.2.2

根据加法法则， $1 - \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.2.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ 相加。

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (- \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.4.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.4.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.4.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.4.2.2.3

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.4.2.2.4

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.4.2.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 2.4.4

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.4.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

解题步骤 2.4.4.2

从 $- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.4.4.2.1

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

解题步骤 2.4.4.2.2

从 $- 2 (1 - \ln (x)) x$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

解题步骤 2.4.4.2.3

从 $x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

解题步骤 2.5

约去公因数。

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解题步骤 2.5.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 2.5.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 2.5.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

解题步骤 2.6.2

化简分子。

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解题步骤 2.6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

解题步骤 2.6.2.1.2

乘以 $- 2 (- \ln (x))$ 。

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解题步骤 2.6.2.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{x^{3}}$

解题步骤 2.6.2.1.2.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (x)$ 。

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

解题步骤 2.6.2.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{- 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

解题步骤 2.6.3

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

解题步骤 2.6.4

从 $\ln (x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

解题步骤 2.6.5

从 $- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

解题步骤 2.6.6

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1.3.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2.2

重写表达式。

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ 。

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$1 - \ln (x) = 0$

解题步骤 5.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \ln (x) = - 1$

解题步骤 5.3.2

将 $- \ln (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $- \ln (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $\ln (x)$ 除以 $1$ 。

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\ln (x) = 1$

解题步骤 5.3.3

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

解题步骤 5.3.4

使用对数的定义将 $\ln (x) = 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{1} = x$

解题步骤 5.3.5

将方程重写为 $x = e^{1}$ 。

$x = e$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 6.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 6.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 6.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6.3

将 $\ln (x)$ 中的参数设为小于等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x \leq 0$

解题步骤 6.4

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = e$

解题步骤 8

计算在 $x = e$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{3 - \ln ({(e)}^{2})}{{(e)}^{3}}$

解题步骤 9

化简分子。

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解题步骤 9.1

使用对数规则把 $2$ 移到指数外部。

$- \frac{3 - (2 \ln (e))}{e^{3}}$

解题步骤 9.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$- \frac{3 - (2 \cdot 1)}{e^{3}}$

解题步骤 9.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3 - 1 \cdot 2}{e^{3}}$

解题步骤 9.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{3 - 2}{e^{3}}$

解题步骤 9.5

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{1}{e^{3}}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = e$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = e$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = e$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $e$ 替换变量 $x$ 。

$f (e) = \frac{\ln (e)}{e}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f (e) = \frac{1}{e}$

解题步骤 11.2.2

最终答案为 $\frac{1}{e}$ 。

$y = \frac{1}{e}$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ 的局部极值。

$(e, \frac{1}{e})$ 是一个局部最大值

解题步骤 13

微积分学 示例

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