微积分学示例

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $4 x^{3} - 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 12$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

解题步骤 4.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} - 12 x^{2}$ 。

$4 x^{3} - 12 x^{2}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} - 12 x^{2} = 0$

解题步骤 5.2

从 $4 x^{3} - 12 x^{2}$ 中分解出因数 $4 x^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x^{2}$ 。

$4 x^{2} (x) - 12 x^{2} = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $- 12 x^{2}$ 中分解出因数 $4 x^{2}$ 。

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3) = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 3)$ 中分解出因数 $4 x^{2}$ 。

$4 x^{2} (x - 3) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 5.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 5.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 5.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 5.5.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 5.6

最终解为使 $4 x^{2} (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 3$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, 3$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$12 \cdot 0 - 24 \cdot 0$

解题步骤 9.1.2

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$0 - 24 \cdot 0$

解题步骤 9.1.3

将 $- 24$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 9.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $4 x^{3} - 12 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} - 12 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 10.2.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 - 12 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 10.2.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 8$ 。

$f' (- 2) = - 32 - 12 {(- 2)}^{2}$

解题步骤 10.2.2.1.3

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2) = - 32 - 12 \cdot 4$

解题步骤 10.2.2.1.4

将 $- 12$ 乘以 $4$ 。

$f' (- 2) = - 32 - 48$

解题步骤 10.2.2.2

从 $- 32$ 中减去 $48$ 。

$f' (- 2) = - 80$

解题步骤 10.2.2.3

最终答案为 $- 80$ 。

$- 80$

解题步骤 10.3

将区间 $(0, 3)$ 内的任一数字（例如 $2$ ）代入一阶导数 $4 x^{3} - 12 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 12 {(2)}^{2}$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

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解题步骤 10.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.3.2.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 12 {(2)}^{2}$

解题步骤 10.3.2.1.2

将 $4$ 乘以 $8$ 。

$f' (2) = 32 - 12 {(2)}^{2}$

解题步骤 10.3.2.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2) = 32 - 12 \cdot 4$

解题步骤 10.3.2.1.4

将 $- 12$ 乘以 $4$ 。

$f' (2) = 32 - 48$

解题步骤 10.3.2.2

从 $32$ 中减去 $48$ 。

$f' (2) = - 16$

解题步骤 10.3.2.3

最终答案为 $- 16$ 。

$- 16$

解题步骤 10.4

将区间 $(3, \infty)$ 内的任一数字（例如 $6$ ）代入一阶导数 $4 x^{3} - 12 x^{2}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.4.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (6) = 4 {(6)}^{3} - 12 {(6)}^{2}$

解题步骤 10.4.2

化简结果。

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解题步骤 10.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.4.2.1.1

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (6) = 4 \cdot 216 - 12 {(6)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $216$ 。

$f' (6) = 864 - 12 {(6)}^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.3

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (6) = 864 - 12 \cdot 36$

解题步骤 10.4.2.1.4

将 $- 12$ 乘以 $36$ 。

$f' (6) = 864 - 432$

解题步骤 10.4.2.2

从 $864$ 中减去 $432$ 。

$f' (6) = 432$

解题步骤 10.4.2.3

最终答案为 $432$ 。

$432$

解题步骤 10.5

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 10.6

由于一阶导数在 $x = 3$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 3$ 是极小值。

$x = 3$ 是一个极小值

解题步骤 11

微积分学 示例

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