微积分学示例

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.3.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 6 x + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $3 x^{2} - 6 x$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} - 6 x$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 6 x - 6 \frac{d}{d x} x$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 6 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 6$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$3 x^{2} - 6 x = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 4.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 4.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x + 0$

解题步骤 4.1.3.2

将 $3 x^{2} - 6 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 6 x$ 。

$3 x^{2} - 6 x$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 6 x = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 6 x = 0$

解题步骤 5.2

从 $3 x^{2} - 6 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$3 x (x) - 6 x = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $3 x (x) + 3 x (- 2)$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$3 x (x - 2) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 5.5.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 5.6

最终解为使 $3 x (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 2$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, 2$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (0) - 6$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$0 - 6$

解题步骤 9.2

从 $0$ 中减去 $6$ 。

$- 6$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2} + 1$

解题步骤 11.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 + 1$

解题步骤 11.2.1.3

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 1$

解题步骤 11.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 1$

解题步骤 11.2.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = 1$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 12

计算在 $x = 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (2) - 6$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$12 - 6$

解题步骤 13.2

从 $12$ 中减去 $6$ 。

$6$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 2$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 2$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = 2$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 1$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2) = 8 - 3 {(2)}^{2} + 1$

解题步骤 15.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2) = 8 - 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 15.2.1.3

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$f (2) = 8 - 12 + 1$

解题步骤 15.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 15.2.2.1

从 $8$ 中减去 $12$ 。

$f (2) = - 4 + 1$

解题步骤 15.2.2.2

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$f (2) = - 3$

解题步骤 15.2.3

最终答案为 $- 3$ 。

$y = - 3$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ 的局部极值。

$(0, 1)$ 是一个局部最大值

$(2, - 3)$ 是一个局部最小值

解题步骤 17

微积分学 示例

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