微积分学示例

$f (x) = x \ln (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.3.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2.2

重写表达式。

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \ln (x) \cdot 1$

解题步骤 1.3.4

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$1 + \ln (x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $1 + \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

解题步骤 2.1.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\ln (x))$

解题步骤 2.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{x}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{1}{x}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$1 + \ln (x) = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1.3.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.2.2

重写表达式。

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \ln (x) \cdot 1$

解题步骤 4.1.3.4

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $1 + \ln (x)$ 。

$1 + \ln (x)$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $1 + \ln (x) = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$1 + \ln (x) = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\ln (x) = - 1$

解题步骤 5.3

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

解题步骤 5.4

使用对数的定义将 $\ln (x) = - 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- 1} = x$

解题步骤 5.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将方程重写为 $x = e^{- 1}$ 。

$x = e^{- 1}$

解题步骤 5.5.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x = \frac{1}{e}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\ln (x)$ 中的参数设为小于等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x \leq 0$

解题步骤 6.2

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \frac{1}{e}$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{1}{e}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{1}{\frac{1}{e}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

将分子乘以分母的倒数。

$1 e$

解题步骤 9.2

将 $e$ 乘以 $1$ 。

$e$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{1}{e}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{1}{e}$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = \frac{1}{e}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{1}{e}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

将 $\frac{1}{e}$ 重写为 $1 e^{- 1}$ 。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

解题步骤 11.2.2

将 $\ln (1 e^{- 1})$ 重写为 $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ 。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

解题步骤 11.2.3

使用对数规则把 $- 1$ 移到指数外部。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

解题步骤 11.2.4

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

解题步骤 11.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

解题步骤 11.2.6

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 1)$

解题步骤 11.2.7

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 1$

解题步骤 11.2.8

组合 $\frac{1}{e}$ 和 $- 1$ 。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 1}{e}$

解题步骤 11.2.9

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{1}{e}$

解题步骤 11.2.10

最终答案为 $- \frac{1}{e}$ 。

$y = - \frac{1}{e}$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = x \ln (x)$ 的局部极值。

$(\frac{1}{e}, - \frac{1}{e})$ 是一个局部最小值

解题步骤 13

微积分学 示例

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