微积分学示例

$\int_{64}^{8} 1 \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

解题步骤 1

将 $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ 乘以 $1$ 。

$\int_{64}^{8} \frac{\ln (y)}{\sqrt{y}} d y$

解题步骤 2

将 $\frac{\ln (y)}{\sqrt{y}}$ 重写为乘积形式。

$\int_{64}^{8} \ln (y) \frac{1}{\sqrt{y}} d y$

解题步骤 3

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (y)$ ， $d v = \frac{1}{\sqrt{y}}$ 。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} 2 y^{\frac{1}{2}} \frac{1}{y} d y$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{y}$ 。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} y^{\frac{1}{2}} \frac{2}{y} d y$

解题步骤 4.2

组合 $y^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2}{y}$ 。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{y} d y$

解题步骤 4.3

将 $2$ 移到 $y^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2 \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y} d y$

解题步骤 4.4

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $y^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y$

解题步骤 4.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.5.1

将 $y$ 乘以 $y^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.5.1.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y$

解题步骤 4.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y$

解题步骤 4.5.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

解题步骤 4.5.3

在公分母上合并分子。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y$

解题步骤 4.5.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - \int_{64}^{8} \frac{2}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - (2 \int_{64}^{8} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y)$

解题步骤 6

化简表达式。

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解题步骤 6.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 \int_{64}^{8} \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y$

解题步骤 6.2

通过将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 \int_{64}^{8} {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y$

解题步骤 6.3

将 ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 \int_{64}^{8} y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y$

解题步骤 6.3.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 \int_{64}^{8} y^{\frac{- 1}{2}} d y$

解题步骤 6.3.3

将负号移到分数的前面。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 \int_{64}^{8} y^{- \frac{1}{2}} d y$

解题步骤 7

根据幂法则， $y^{- \frac{1}{2}}$ 对 $y$ 的积分是 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 。

$\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})]_{64}^{8} - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{64}^{8})$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $\ln (y) (2 y^{\frac{1}{2}})$ 在 $8$ 处和在 $64$ 处的值。

$(\ln (8) (2 \cdot 8^{\frac{1}{2}})) - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 y^{\frac{1}{2}}]_{64}^{8})$

解题步骤 8.2

计算 $2 y^{\frac{1}{2}}$ 在 $8$ 处和在 $64$ 处的值。

$(\ln (8) (2 \cdot 8^{\frac{1}{2}})) - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\ln (8) (2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{2}}) - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.2

将 ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (8) (2 \cdot 2^{3 (\frac{1}{2})}) - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.2.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (8) (2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (8) \cdot 2^{1 + \frac{3}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.5

在公分母上合并分子。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{2 + 3}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.6

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 64^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.7

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.8

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.9

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.9.1

约去公因数。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.9.2

重写表达式。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 8^{1}) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.10

计算指数。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) (2 \cdot 8) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.11

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - \ln (64) \cdot 16 - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.12

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.13

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.14

将 ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.3.14.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2 \cdot 2^{3 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.14.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.15

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{1 + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.16

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.17

在公分母上合并分子。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{2 + 3}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.18

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 64^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.19

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.3.20

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})})$

解题步骤 8.3.21

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.21.1

约去公因数。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 8^{2 (\frac{1}{2})})$

解题步骤 8.3.21.2

重写表达式。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 8^{1})$

解题步骤 8.3.22

计算指数。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 8)$

解题步骤 8.3.23

将 $- 2$ 乘以 $8$ 。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (64) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 16)$

解题步骤 9

化简每一项。

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解题步骤 9.1

将 $\ln (64)$ 重写为 $\ln (2^{6})$ 。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 \ln (2^{6}) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 16)$

解题步骤 9.2

通过将 $6$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{6})$ 。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 16 (6 \ln (2)) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 16)$

解题步骤 9.3

将 $6$ 乘以 $- 16$ 。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2 (2^{\frac{5}{2}} - 16)$

解题步骤 9.4

运用分配律。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot - 16$

解题步骤 9.5

乘以 $- 2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}$ 。

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解题步骤 9.5.1

提取负因数。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - (2 \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 16$

解题步骤 9.5.2

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - (2^{1} \cdot 2^{\frac{5}{2}}) - 2 \cdot - 16$

解题步骤 9.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{1 + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 16$

解题步骤 9.5.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{\frac{2}{2} + \frac{5}{2}} - 2 \cdot - 16$

解题步骤 9.5.5

在公分母上合并分子。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{\frac{2 + 5}{2}} - 2 \cdot - 16$

解题步骤 9.5.6

将 $2$ 和 $5$ 相加。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{\frac{7}{2}} - 2 \cdot - 16$

解题步骤 9.6

将 $- 2$ 乘以 $- 16$ 。

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{\frac{7}{2}} + 32$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\ln (8) \cdot 2^{\frac{5}{2}} - 96 \ln (2) - 2^{\frac{7}{2}} + 32$

小数形式：

$- 34.09274011 \dots$

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