微积分学示例

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

将 $x^{2} + 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.7

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = - x^{2} + 1$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

将 ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 1) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.2

根据加法法则， $- x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (1)) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.7

将 $- 2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.3.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.4.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.4.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.4.5

化简表达式。

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解题步骤 2.4.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.4.5.2

将 $2$ 移到 $x^{2} + 1$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.4.5.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3

化简分子。

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解题步骤 2.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.2

将 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.3.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.3.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.3.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.5.3.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.3.1.4.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.4.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.4.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.4.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.4.1.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.4.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.4.2

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.5

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.6

化简。

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解题步骤 2.5.3.1.6.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.6.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 4 x^{2} - 2) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.7

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.8

化简。

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解题步骤 2.5.3.1.8.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.8.1.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.8.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.8.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.8.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.8.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.8.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.8.2.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.8.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.8.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.8.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.8.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.9

化简每一项。

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解题步骤 2.5.3.1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 1) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.9.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.10

化简每一项。

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解题步骤 2.5.3.1.10.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.10.1.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.10.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2} x + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.10.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{2 + 1} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.10.1.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.10.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.11

使用 FOIL 方法展开 $(4 x^{2} - 4) (x^{3} + x)$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.11.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} (x^{3} + x) - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.11.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 (x^{3} + x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.11.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.5.3.1.12.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.3.1.12.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.12.1.1.1

移动 $x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.1.1.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} x - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.12.1.2.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.12.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{1 + 2} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.1.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{3} - 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.2

从 $4 x^{3}$ 中减去 $4 x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 0 - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.3

将 $4 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.2

将 $- 2 x^{5}$ 和 $4 x^{5}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 2 x - 4 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.3

从 $- 2 x$ 中减去 $4 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4

化简分子。

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解题步骤 2.5.4.1

从 $2 x^{5} - 4 x^{3} - 6 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 2.5.4.1.1

从 $2 x^{5}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.1.2

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) - 6 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.1.3

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.1.4

从 $2 x (x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2})$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.1.5

从 $2 x (x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.3

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 2 u - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.4

使用 AC 法来对 $u^{2} - 2 u - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.5.4.4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $- 2$ 。

$- 3, 1$

解题步骤 2.5.4.4.2

使用这些整数书写分数形式。

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 3) (u + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.5

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.5

约去 $x^{2} + 1$ 和 ${(x^{2} + 1)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.5.1

从 $2 x (x^{2} - 3) (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.5.2.1

从 ${(x^{2} + 1)}^{4}$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.5.5.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x (x^{2} - 3))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.5.5.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}]$ 。

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x (x^{2} - 3)$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 3)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{({(x^{2} + 1)}^{3})}^{2}})$

解题步骤 3.3

将 ${({(x^{2} + 1)}^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 3)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{3 \cdot 2}})$

解题步骤 3.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 3)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

解题步骤 3.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} - 3$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (x \frac{d}{d x} (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

解题步骤 3.5

求微分。

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解题步骤 3.5.1

根据加法法则， $x^{2} - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (x (2 x + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

解题步骤 3.5.3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (x (2 x + 0) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

解题步骤 3.5.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (x (2 x) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

解题步骤 3.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (2 (x \cdot x) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

解题步骤 3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (2 (x \cdot x) + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

解题步骤 3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.9.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (2 x^{2} + (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

解题步骤 3.9.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (2 x^{2} + (x^{2} - 3) \cdot 1) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

解题步骤 3.9.3

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.9.3.1

将 $x^{2} - 3$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (2 x^{2} + x^{2} - 3) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

解题步骤 3.9.3.2

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (3 x^{2} - 3) - x (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

解题步骤 3.10

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 3.10.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (3 x^{2} - 3) - x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

解题步骤 3.10.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (3 x^{2} - 3) - x (x^{2} - 3) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

解题步骤 3.10.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (3 x^{2} - 3) - x (x^{2} - 3) (3 {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

解题步骤 3.11

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.11.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) ({(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

解题步骤 3.11.2

从 ${(x^{2} + 1)}^{3} (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) ({(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.11.2.1

从 ${(x^{2} + 1)}^{3} (3 x^{2} - 3)$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3)) - 3 x (x^{2} - 3) ({(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

解题步骤 3.11.2.2

从 $- 3 x (x^{2} - 3) ({(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3)) + {(x^{2} + 1)}^{2} (- 3 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

解题步骤 3.11.2.3

从 ${(x^{2} + 1)}^{2} ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3)) + {(x^{2} + 1)}^{2} (- 3 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{6}})$

解题步骤 3.12

约去公因数。

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解题步骤 3.12.1

从 ${(x^{2} + 1)}^{6}$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2} + 1)}^{4}})$

解题步骤 3.12.2

约去公因数。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2} + 1)}^{4}})$

解题步骤 3.12.3

重写表达式。

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

解题步骤 3.13

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

解题步骤 3.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

解题步骤 3.15

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

解题步骤 3.16

化简表达式。

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解题步骤 3.16.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 3 x (x^{2} - 3) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

解题步骤 3.16.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 6 x (x^{2} - 3) x}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

解题步骤 3.17

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 6 (x \cdot x) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

解题步骤 3.18

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 6 (x \cdot x) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

解题步骤 3.19

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 6 x^{1 + 1} (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

解题步骤 3.20

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f''' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 6 x^{2} (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

解题步骤 3.21

组合 $2$ 和 $\frac{(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 6 x^{2} (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ 。

$f''' (x) = \frac{2 ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 6 x^{2} (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22

化简。

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解题步骤 3.22.1

运用分配律。

$f''' (x) = \frac{2 ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3) - 6 x^{2} x^{2} - 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.2

运用分配律。

$f''' (x) = \frac{2 ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3)) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.3

化简分子。

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解题步骤 3.22.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.22.3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 3)$ 。

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解题步骤 3.22.3.1.1.1

运用分配律。

$f''' (x) = \frac{2 (x^{2} (3 x^{2} - 3) + 1 (3 x^{2} - 3)) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.3.1.1.2

运用分配律。

$f''' (x) = \frac{2 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2} - 3)) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.3.1.1.3

运用分配律。

$f''' (x) = \frac{2 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.3.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.22.3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.22.3.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.3.1.2.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.22.3.1.2.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$f''' (x) = \frac{2 (3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.3.1.2.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.3.1.2.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{4} + x^{2} \cdot - 3 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.3.1.2.1.3

将 $- 3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{4} - 3 \cdot x^{2} + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.3.1.2.1.4

将 $3 x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{4} - 3 x^{2} + 3 x^{2} + 1 \cdot - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.3.1.2.1.5

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{4} - 3 x^{2} + 3 x^{2} - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.3.1.2.2

将 $- 3 x^{2}$ 和 $3 x^{2}$ 相加。

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{4} + 0 - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.3.1.2.3

将 $3 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{4} - 3) + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.3.1.3

运用分配律。

$f''' (x) = \frac{2 (3 x^{4}) + 2 \cdot - 3 + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.3.1.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} + 2 \cdot - 3 + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.3.1.5

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 6 + 2 (- 6 x^{2} x^{2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.3.1.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.22.3.1.6.1

移动 $x^{2}$ 。

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 6 + 2 (- 6 (x^{2} x^{2})) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.3.1.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 6 + 2 (- 6 x^{2 + 2}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.3.1.6.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 6 + 2 (- 6 x^{4}) + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.3.1.7

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 6 - 12 x^{4} + 2 (- 6 x^{2} \cdot - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.3.1.8

将 $- 3$ 乘以 $- 6$ 。

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 6 - 12 x^{4} + 2 (18 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.3.1.9

将 $18$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = \frac{6 x^{4} - 6 - 12 x^{4} + 36 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.3.2

从 $6 x^{4}$ 中减去 $12 x^{4}$ 。

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} - 6 + 36 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.4

重新排序项。

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 6}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.5

从 $- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 6$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 3.22.5.1

从 $- 6 x^{4}$ 中分解出因数 $6$ 。

$f''' (x) = \frac{6 (- x^{4}) + 36 x^{2} - 6}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.5.2

从 $36 x^{2}$ 中分解出因数 $6$ 。

$f''' (x) = \frac{6 (- x^{4}) + 6 (6 x^{2}) - 6}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.5.3

从 $- 6$ 中分解出因数 $6$ 。

$f''' (x) = \frac{6 (- x^{4}) + 6 (6 x^{2}) + 6 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.5.4

从 $6 (- x^{4}) + 6 (6 x^{2})$ 中分解出因数 $6$ 。

$f''' (x) = \frac{6 (- x^{4} + 6 x^{2}) + 6 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.5.5

从 $6 (- x^{4} + 6 x^{2}) + 6 (- 1)$ 中分解出因数 $6$ 。

$f''' (x) = \frac{6 (- x^{4} + 6 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.6

从 $- x^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f''' (x) = \frac{6 (- (x^{4}) + 6 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.7

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f''' (x) = \frac{6 (- (x^{4}) - (- 6 x^{2}) - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.8

从 $- (x^{4}) - (- 6 x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f''' (x) = \frac{6 (- (x^{4} - 6 x^{2}) - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.9

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$f''' (x) = \frac{6 (- (x^{4} - 6 x^{2}) - 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.10

从 $- (x^{4} - 6 x^{2}) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f''' (x) = \frac{6 (- (x^{4} - 6 x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.11

将 $- (x^{4} - 6 x^{2} + 1)$ 重写为 $- 1 (x^{4} - 6 x^{2} + 1)$ 。

$f''' (x) = \frac{6 (- 1 (x^{4} - 6 x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.22.12

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = - \frac{6 (x^{4} - 6 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{6 (x^{4} - 6 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{4} - 6 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{4}}]$ 。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{d}{d x} \frac{x^{4} - 6 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 4.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{4} - 6 x^{2} + 1$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{4}$ 。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x^{4} - 6 x^{2} + 1) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{({(x^{2} + 1)}^{4})}^{2}}$

解题步骤 4.3

求微分。

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解题步骤 4.3.1

将 ${({(x^{2} + 1)}^{4})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x^{4} - 6 x^{2} + 1) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{4 \cdot 2}}$

解题步骤 4.3.1.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x^{4} - 6 x^{2} + 1) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

解题步骤 4.3.2

根据加法法则， $x^{4} - 6 x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

解题步骤 4.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

解题步骤 4.3.4

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

解题步骤 4.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

解题步骤 4.3.6

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

解题步骤 4.3.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x + 0) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

解题步骤 4.3.8

将 $4 x^{3} - 12 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

解题步骤 4.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 4.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

解题步骤 4.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

解题步骤 4.4.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x) - (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (4 {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

解题步骤 4.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.5.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) ({(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

解题步骤 4.5.2

从 ${(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) ({(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 1)}^{3}$ 。

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解题步骤 4.5.2.1

从 ${(x^{2} + 1)}^{4} (4 x^{3} - 12 x)$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 1)}^{3}$ 。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x)) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) ({(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

解题步骤 4.5.2.2

从 $- 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) ({(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 1)}^{3}$ 。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x)) + {(x^{2} + 1)}^{3} (- 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

解题步骤 4.5.2.3

从 ${(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x)) + {(x^{2} + 1)}^{3} (- 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 1)}^{3}$ 。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{8}}$

解题步骤 4.6

约去公因数。

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解题步骤 4.6.1

从 ${(x^{2} + 1)}^{8}$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 1)}^{3}$ 。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.6.2

约去公因数。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.6.3

重写表达式。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.7

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.10

合并分数。

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解题步骤 4.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 4 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.10.2

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$f^{4} (x) = - 6 \frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 8 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.10.3

组合 $- 6$ 和 $\frac{(x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 8 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{- 6 ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 8 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.10.4

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = - \frac{(6) ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 8 (x^{4} - 6 x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11

化简。

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解题步骤 4.11.1

运用分配律。

$f^{4} (x) = - \frac{6 ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) + (- 8 x^{4} - 8 (- 6 x^{2}) - 8 \cdot 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.2

运用分配律。

$f^{4} (x) = - \frac{6 ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x) - 8 x^{4} x - 8 (- 6 x^{2}) x - 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.3

运用分配律。

$f^{4} (x) = - \frac{6 ((x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4

化简分子。

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解题步骤 4.11.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.11.4.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 1) (4 x^{3} - 12 x)$ 。

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解题步骤 4.11.4.1.1.1

运用分配律。

$f^{4} (x) = - \frac{6 (x^{2} (4 x^{3} - 12 x) + 1 (4 x^{3} - 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.1.2

运用分配律。

$f^{4} (x) = - \frac{6 (x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 12 x) + 1 (4 x^{3} - 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.1.3

运用分配律。

$f^{4} (x) = - \frac{6 (x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 12 x) + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.11.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.11.4.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 12 x) + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.2.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.11.4.1.2.1.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (- 12 x) + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.2.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{3 + 2} + x^{2} (- 12 x) + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.2.1.2.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} + x^{2} (- 12 x) + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.2.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} - 12 x^{2} x + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.2.1.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.11.4.1.2.1.4.1

移动 $x$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} - 12 (x \cdot x^{2}) + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.2.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.11.4.1.2.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} - 12 (x \cdot x^{2}) + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.2.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} - 12 x^{1 + 2} + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.2.1.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 1 (4 x^{3}) + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.2.1.5

将 $4 x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 4 x^{3} + 1 (- 12 x)) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.2.1.6

将 $- 12 x$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} - 12 x^{3} + 4 x^{3} - 12 x) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.2.2

将 $- 12 x^{3}$ 和 $4 x^{3}$ 相加。

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5} - 8 x^{3} - 12 x) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.3

运用分配律。

$f^{4} (x) = - \frac{6 (4 x^{5}) + 6 (- 8 x^{3}) + 6 (- 12 x) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.4

化简。

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解题步骤 4.11.4.1.4.1

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} + 6 (- 8 x^{3}) + 6 (- 12 x) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.4.2

将 $- 8$ 乘以 $6$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} + 6 (- 12 x) + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.4.3

将 $- 12$ 乘以 $6$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x + 6 (- 8 x^{4} x) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.5

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.11.4.1.5.1

移动 $x$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x + 6 (- 8 (x \cdot x^{4})) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 4.11.4.1.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x + 6 (- 8 (x \cdot x^{4})) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x + 6 (- 8 x^{1 + 4}) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.5.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x + 6 (- 8 x^{5}) + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.6

将 $- 8$ 乘以 $6$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 6 (- 8 (- 6 x^{2}) x) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.7

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.11.4.1.7.1

移动 $x$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 6 (- 8 (- 6 (x \cdot x^{2}))) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.7.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.11.4.1.7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 6 (- 8 (- 6 (x \cdot x^{2}))) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 6 (- 8 (- 6 x^{1 + 2})) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.7.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 6 (- 8 (- 6 x^{3})) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.8

将 $- 6$ 乘以 $- 8$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 6 (48 x^{3}) + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.9

将 $48$ 乘以 $6$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 288 x^{3} + 6 (- 8 \cdot (1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.10

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 288 x^{3} + 6 (- 8 x)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.1.11

将 $- 8$ 乘以 $6$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x - 48 x^{5} + 288 x^{3} - 48 x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.2

从 $24 x^{5}$ 中减去 $48 x^{5}$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{- 24 x^{5} - 48 x^{3} - 72 x + 288 x^{3} - 48 x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.3

将 $- 48 x^{3}$ 和 $288 x^{3}$ 相加。

$f^{4} (x) = - \frac{- 24 x^{5} + 240 x^{3} - 72 x - 48 x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.4.4

从 $- 72 x$ 中减去 $48 x$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{- 24 x^{5} + 240 x^{3} - 120 x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.5

从 $- 24 x^{5} + 240 x^{3} - 120 x$ 中分解出因数 $24 x$ 。

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解题步骤 4.11.5.1

从 $- 24 x^{5}$ 中分解出因数 $24 x$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- x^{4}) + 240 x^{3} - 120 x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.5.2

从 $240 x^{3}$ 中分解出因数 $24 x$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- x^{4}) + 24 x (10 x^{2}) - 120 x}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.5.3

从 $- 120 x$ 中分解出因数 $24 x$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- x^{4}) + 24 x (10 x^{2}) + 24 x (- 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.5.4

从 $24 x (- x^{4}) + 24 x (10 x^{2})$ 中分解出因数 $24 x$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- x^{4} + 10 x^{2}) + 24 x (- 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.5.5

从 $24 x (- x^{4} + 10 x^{2}) + 24 x (- 5)$ 中分解出因数 $24 x$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- x^{4} + 10 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.6

从 $- x^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- (x^{4}) + 10 x^{2} - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.7

从 $10 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- (x^{4}) - (- 10 x^{2}) - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.8

从 $- (x^{4}) - (- 10 x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- (x^{4} - 10 x^{2}) - 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.9

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- (x^{4} - 10 x^{2}) - 1 \cdot 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.10

从 $- (x^{4} - 10 x^{2}) - 1 (5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- (x^{4} - 10 x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.11

将 $- (x^{4} - 10 x^{2} + 5)$ 重写为 $- 1 (x^{4} - 10 x^{2} + 5)$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{24 x (- 1 (x^{4} - 10 x^{2} + 5))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.12

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = \frac{(24 x) (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.13

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = 1 (\frac{(24 x) (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}})$

解题步骤 4.11.14

将 $\frac{(24 x) (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{(24 x) (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.11.15

将 $\frac{(24 x) (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$ 中的因式重新排序。

$f^{4} (x) = \frac{24 x (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $\frac{24 x (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$ 。

$\frac{24 x (x^{4} - 10 x^{2} + 5)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

微积分学 示例

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