微积分学示例

$\int \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{3}} d x$

解题步骤 1

使 $u = 1 - x^{2}$ 。然后使 $d u = - 2 x d x$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 1 - x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $1 - x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - (2 x)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 2 x$

解题步骤 1.1.4

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$- 2 x$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将负号移到分数的前面。

$\int \frac{1}{u^{3}} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{u^{3}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\int - \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

解题步骤 2.3

将 $2$ 移到 $u^{3}$ 的左侧。

$\int - \frac{1}{2 u^{3}} d u$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u)$

解题步骤 5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.1

通过将 $u^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$- \frac{1}{2} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

解题步骤 5.2

将 ${(u^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{2} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

解题步骤 5.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{2} \int u^{- 3} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{- 3}$ 对 $u$ 的积分是 $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ 。

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ 重写为 $- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ 。

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $\frac{1}{u^{2}}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

解题步骤 7.2.2

将 $2$ 移到 $u^{2}$ 的左侧。

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

解题步骤 7.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2 u^{2}} + C$

解题步骤 7.2.4

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 u^{2}} + C$

解题步骤 7.2.5

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2 u^{2}}$ 。

$\frac{1}{2 (2 u^{2})} + C$

解题步骤 7.2.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4 u^{2}} + C$

解题步骤 8

使用 $1 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4 {(1 - x^{2})}^{2}} + C$

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