微积分学示例

$\int x \sin^{3} (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sin^{3} (x)$ 。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - \int - \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\int - \cos (x) d x + \int \frac{1}{3} \cos^{3} (x) d x)$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \int \cos (x) d x + \int \frac{1}{3} \cos^{3} (x) d x)$

解题步骤 4

$\cos (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\sin (x)$ 。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \int \frac{1}{3} \cos^{3} (x) d x)$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} \int \cos^{3} (x) d x)$

解题步骤 6

因式分解出 $\cos^{2} (x)$ 。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} \int \cos^{2} (x) \cos (x) d x)$

解题步骤 7

使用勾股定理，将 $\cos^{2} (x)$ 重写成 $1 - \sin^{2} (x)$ 的形式。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} \int (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x)$

解题步骤 8

使 $u = \sin (x)$ 。然后使 $d u = \cos (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = \sin (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $\sin (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 8.1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} \int 1 - u^{2} d u)$

解题步骤 9

将单个积分拆分为多个积分。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} (\int d u + \int - u^{2} d u))$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} (u + C + \int - u^{2} d u))$

解题步骤 11

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} (u + C - \int u^{2} d u))$

解题步骤 12

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- (\sin (x) + C) + \frac{1}{3} (u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)))$

解题步骤 13

化简。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{1}{3} (u - \frac{1}{3} u^{3})) + C$

解题步骤 14

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{1}{3} (\sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x))) + C$

解题步骤 15

化简。

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解题步骤 15.1

化简每一项。

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解题步骤 15.1.1

组合 $\sin^{3} (x)$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{1}{3} (\sin (x) - \frac{\sin^{3} (x)}{3})) + C$

解题步骤 15.1.2

运用分配律。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{1}{3} \sin (x) + \frac{1}{3} (- \frac{\sin^{3} (x)}{3})) + C$

解题步骤 15.1.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $\sin (x)$ 。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{\sin (x)}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{\sin^{3} (x)}{3})) + C$

解题步骤 15.1.4

乘以 $\frac{1}{3} (- \frac{\sin^{3} (x)}{3})$ 。

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解题步骤 15.1.4.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{\sin^{3} (x)}{3}$ 。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{\sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{3 \cdot 3}) + C$

解题步骤 15.1.4.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) + \frac{\sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

解题步骤 15.2

要将 $- \sin (x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \sin (x) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

解题步骤 15.3

组合 $- \sin (x)$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{- \sin (x) \cdot 3}{3} + \frac{\sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

解题步骤 15.4

在公分母上合并分子。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{- \sin (x) \cdot 3 + \sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

解题步骤 15.5

化简每一项。

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解题步骤 15.5.1

化简分子。

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解题步骤 15.5.1.1

从 $- \sin (x) \cdot 3 + \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 15.5.1.1.1

从 $- \sin (x) \cdot 3$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) (- 1 \cdot 3) + \sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

解题步骤 15.5.1.1.2

乘以 $1$ 。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) (- 1 \cdot 3) + \sin (x) \cdot 1}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

解题步骤 15.5.1.1.3

从 $\sin (x) (- 1 \cdot 3) + \sin (x) \cdot 1$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) (- 1 \cdot 3 + 1)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

解题步骤 15.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) (- 3 + 1)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

解题步骤 15.5.1.3

将 $- 3$ 和 $1$ 相加。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{\sin (x) \cdot - 2}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

解题步骤 15.5.2

将 $- 2$ 移到 $\sin (x)$ 的左侧。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (\frac{- 2 \cdot \sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

解题步骤 15.5.3

将负号移到分数的前面。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - (- \frac{2 \sin (x)}{3} - \frac{\sin^{3} (x)}{9}) + C$

解题步骤 15.6

运用分配律。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) - - \frac{2 \sin (x)}{3} - - \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

解题步骤 15.7

乘以 $- - \frac{2 \sin (x)}{3}$ 。

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解题步骤 15.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + 1 \frac{2 \sin (x)}{3} - - \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

解题步骤 15.7.2

将 $\frac{2 \sin (x)}{3}$ 乘以 $1$ 。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + \frac{2 \sin (x)}{3} - - \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

解题步骤 15.8

乘以 $- - \frac{\sin^{3} (x)}{9}$ 。

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解题步骤 15.8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + \frac{2 \sin (x)}{3} + 1 \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

解题步骤 15.8.2

将 $\frac{\sin^{3} (x)}{9}$ 乘以 $1$ 。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + \frac{2 \sin (x)}{3} + \frac{\sin^{3} (x)}{9} + C$

解题步骤 16

重新排序项。

$x (- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + \frac{2}{3} \sin (x) + \frac{1}{9} \sin^{3} (x) + C$

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