微积分学示例

$\int t^{3} e^{- t^{2}} d t$

解题步骤 1

使 $u = - t^{2}$ 。然后使 $d u = - 2 t d t$ ，以便 $- \frac{1}{2} d u = t d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = - t^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $- t^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$- \frac{d}{d t} [t^{2}]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- (2 t)$

解题步骤 1.1.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 t$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int {\sqrt{- u}}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

将 ${\sqrt{- u}}^{2}$ 重写为 $- u$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{- u}$ 重写成 ${(- u)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int {({(- u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int {(- u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1

约去公因数。

$\int {(- u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2.1.4.2

重写表达式。

$\int {(- u)}^{1} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2.1.5

化简。

$\int - u e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

解题步骤 2.2

将负号移到分数的前面。

$\int - u e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

解题步骤 2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 1 u e^{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.4

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$\int u e^{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $u$ 。

$\int \frac{u}{2} e^{u} d u$

解题步骤 2.6

组合 $\frac{u}{2}$ 和 $e^{u}$ 。

$\int \frac{u e^{u}}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

解题步骤 4

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = u$ ， $dv = e^{u}$ 。

$\frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

解题步骤 5

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$\frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

解题步骤 6

化简。

$\frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

解题步骤 7

使用 $- t^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}} - e^{- t^{2}}) + C$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

解题步骤 8.2

乘以 $\frac{1}{2} (- t^{2} e^{- t^{2}})$ 。

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解题步骤 8.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{2}$ 。

$- \frac{t^{2}}{2} e^{- t^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

解题步骤 8.2.2

组合 $e^{- t^{2}}$ 和 $\frac{t^{2}}{2}$ 。

$- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{- t^{2}}) + C$

解题步骤 8.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{- t^{2}}$ 。

$- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + C$

解题步骤 8.4

将 $- \frac{e^{- t^{2}} t^{2}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{t^{2} e^{- t^{2}}}{2} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + C$

解题步骤 9

重新排序项。

$- \frac{1}{2} t^{2} e^{- t^{2}} - \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + C$

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