微积分学示例

$\int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.3

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

解题步骤 3.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.5.1

约去公因数。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

解题步骤 3.2.5.2

重写表达式。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

解题步骤 3.2.6

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

解题步骤 3.2.7

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

解题步骤 3.2.8

将 $0$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3} + 0$

解题步骤 3.2.9

将 $\frac{2}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2}{3}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2}{3}$

小数形式：

$0.\overline{6}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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