微积分学示例

$\int_{4}^{5} x \sqrt{x - 4} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sqrt{x - 4}$ 。

$x (\frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})]_{4}^{5} - \int_{4}^{5} \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 ${(x - 4)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$x \frac{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{5} - \int_{4}^{5} \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 2.2

组合 $x$ 和 $\frac{2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{4}^{5} - \int_{4}^{5} \frac{2}{3} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{2}{3}$ 移到积分外。

$\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{4}^{5} - (\frac{2}{3} \int_{4}^{5} {(x - 4)}^{\frac{3}{2}} d x)$

解题步骤 4

使 $u = x - 4$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = x - 4$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $x - 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 4.1.4

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u = x - 4$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 4 - 4$

解题步骤 4.3

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u = x - 4$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 5 - 4$

解题步骤 4.5

从 $5$ 中减去 $4$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 4.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 4.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{4}^{5} - \frac{2}{3} \int_{0}^{1} u^{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{3}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 。

$\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{4}^{5} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{x (2 {(x - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ 在 $5$ 处和在 $4$ 处的值。

$(\frac{5 (2 {(5 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{1}$

解题步骤 6.2

计算 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{5 (2 {(5 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

从 $5$ 中减去 $4$ 。

$\frac{5 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 6.3.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{5 (2 \cdot 1)}{3} - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 6.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 \cdot 2}{3} - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 6.3.4

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 {(4 - 4)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 6.3.5

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 6.3.6

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 6.3.7

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 6.3.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.8.1

约去公因数。

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 6.3.8.2

重写表达式。

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 6.3.9

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{10}{3} - \frac{4 (2 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 6.3.10

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{10}{3} - \frac{4 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 6.3.11

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{10}{3} - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 6.3.12

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.12.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{10}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 6.3.12.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.12.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{10}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 6.3.12.2.2

约去公因数。

$\frac{10}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 6.3.12.2.3

重写表达式。

$\frac{10}{3} - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 6.3.12.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{10}{3} - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 6.3.13

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{10}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 6.3.14

将 $\frac{10}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 6.3.15

一的任意次幂都为一。

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 1 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 6.3.16

将 $\frac{2}{5}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 6.3.17

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

解题步骤 6.3.18

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

解题步骤 6.3.19

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.19.1

约去公因数。

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

解题步骤 6.3.19.2

重写表达式。

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

解题步骤 6.3.20

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

解题步骤 6.3.21

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

解题步骤 6.3.22

将 $0$ 乘以 $\frac{2}{5}$ 。

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} + 0)$

解题步骤 6.3.23

将 $\frac{2}{5}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{10}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5}$

解题步骤 6.3.24

将 $\frac{2}{5}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{10}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

解题步骤 6.3.25

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{10}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3}$

解题步骤 6.3.26

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{10}{3} - \frac{4}{15}$

解题步骤 6.3.27

要将 $\frac{10}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{10}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{15}$

解题步骤 6.3.28

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $15$ 的形式。

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解题步骤 6.3.28.1

将 $\frac{10}{3}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{10 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4}{15}$

解题步骤 6.3.28.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{10 \cdot 5}{15} - \frac{4}{15}$

解题步骤 6.3.29

在公分母上合并分子。

$\frac{10 \cdot 5 - 4}{15}$

解题步骤 6.3.30

化简分子。

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解题步骤 6.3.30.1

将 $10$ 乘以 $5$ 。

$\frac{50 - 4}{15}$

解题步骤 6.3.30.2

从 $50$ 中减去 $4$ 。

$\frac{46}{15}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{46}{15}$

小数形式：

$3.0\overline{6}$

带分数形式：

$3 \frac{1}{15}$

解题步骤 8

微积分学 示例

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