微积分学示例

$x^{2} + y^{2} = 25$

解题步骤 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$y^{2} = 25 - x^{2}$

解题步骤 1.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{25 - x^{2}}$

解题步骤 1.3

化简 $\pm \sqrt{25 - x^{2}}$ 。

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解题步骤 1.3.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{5^{2} - x^{2}}$

解题步骤 1.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 5$ 和 $b = x$ 。

$y = \pm \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 1.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 1.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 1.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)} \to f (x) = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

$y = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)} \to f (x) = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$

解题步骤 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + y^{2} = 25$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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解题步骤 3.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (25)$

解题步骤 3.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 3.2.1

求微分。

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解题步骤 3.2.1.1

根据加法法则， $x^{2} + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x + 2 y y'$

解题步骤 3.2.3

重新排序项。

$2 y y' + 2 x$

解题步骤 3.3

因为 $25$ 对于 $x$ 是常数，所以 $25$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 3.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 y y' + 2 x = 0$

解题步骤 3.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 3.5.1

从等式两边同时减去 $2 x$ 。

$2 y y' = - 2 x$

解题步骤 3.5.2

将 $2 y y' = - 2 x$ 中的每一项除以 $2 y$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $2 y y' = - 2 x$ 中的每一项都除以 $2 y$ 。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

解题步骤 3.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

解题步骤 3.5.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

解题步骤 3.5.2.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

解题步骤 3.5.2.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 2 x}{2 y}$

解题步骤 3.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.3.1

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.2.1

从 $2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{- x}{y}$

解题步骤 3.5.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{x}{y}$

解题步骤 3.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$

解题步骤 4

将分子设为等于零。

$x = 0$

解题步骤 5

Solve the function $f (x) = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ at $x = 0$ .

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \sqrt{(5 + 0) (5 - (0))}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

去掉圆括号。

$f (0) = \sqrt{(5 + 0) (5 - (0))}$

解题步骤 5.2.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = \sqrt{5 (5 - (0))}$

解题步骤 5.2.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = \sqrt{5 (5 + 0)}$

解题步骤 5.2.4

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = \sqrt{5 \cdot 5}$

解题步骤 5.2.5

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$f (0) = \sqrt{25}$

解题步骤 5.2.6

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$f (0) = \sqrt{5^{2}}$

解题步骤 5.2.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (0) = 5$

解题步骤 5.2.8

最终答案为 $5$ 。

$5$

解题步骤 6

Solve the function $f (x) = - \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$ at $x = 0$ .

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = - \sqrt{(5 + 0) (5 - (0))}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

去掉圆括号。

$f (0) = - \sqrt{(5 + 0) (5 - (0))}$

解题步骤 6.2.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = - \sqrt{5 (5 - (0))}$

解题步骤 6.2.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = - \sqrt{5 (5 + 0)}$

解题步骤 6.2.4

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = - \sqrt{5 \cdot 5}$

解题步骤 6.2.5

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$f (0) = - \sqrt{25}$

解题步骤 6.2.6

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$f (0) = - \sqrt{5^{2}}$

解题步骤 6.2.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (0) = - 1 \cdot 5$

解题步骤 6.2.8

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f (0) = - 5$

解题步骤 6.2.9

最终答案为 $- 5$ 。

$- 5$

解题步骤 7

The horizontal tangent lines are $y = 5, y = - 5$

$y = 5, y = - 5$

解题步骤 8

微积分学 示例

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