微积分学示例

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

解题步骤 1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

解题步骤 1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} x$

解题步骤 1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4.3

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $6 x^{2} + 6 x - 12$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 12$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

从 $6 x^{2} + 6 x - 12$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2}) + 6 x - 12 = 0$

解题步骤 2.2.1.2

从 $6 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 12 = 0$

解题步骤 2.2.1.3

从 $- 12$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 2.2.1.4

从 $6 (x^{2}) + 6 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 2.2.1.5

从 $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2} + x - 2) = 0$

解题步骤 2.2.2

因数。

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解题步骤 2.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $1$ 。

$- 1, 2$

解题步骤 2.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$6 ((x - 1) (x + 2)) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

去掉多余的括号。

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.5

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 2.6

最终解为使 $6 (x - 1) (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - 2$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ 的值为 $1, - 2$ 。

$1, - 2$

解题步骤 4

分解 $(- \infty, \infty)$ 到 $x$ 值周围的独立区间中，这些值使导数 $0$ 或未定义。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 2)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 3) = 6 {(- 3)}^{2} + 6 (- 3) - 12$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 3) = 6 \cdot 9 + 6 (- 3) - 12$

解题步骤 5.2.1.2

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$f' (- 3) = 54 + 6 (- 3) - 12$

解题步骤 5.2.1.3

将 $6$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (- 3) = 54 - 18 - 12$

解题步骤 5.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $54$ 中减去 $18$ 。

$f' (- 3) = 36 - 12$

解题步骤 5.2.2.2

从 $36$ 中减去 $12$ 。

$f' (- 3) = 24$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $24$ 。

$24$

解题步骤 5.3

在 $x = - 3$ 处，导数为 $24$ 。由于其值为正，函数在 $(- \infty, - 2)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(- \infty, - 2)$ 上递增

解题步骤 6

将区间 $(- 2, 1)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- \frac{1}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.2.1.1.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

解题步骤 6.2.1.1.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

解题步骤 6.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

解题步骤 6.2.1.3

将 $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

解题步骤 6.2.1.4

一的任意次幂都为一。

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

解题步骤 6.2.1.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

解题步骤 6.2.1.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.6.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

解题步骤 6.2.1.6.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

解题步骤 6.2.1.6.3

约去公因数。

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

解题步骤 6.2.1.6.4

重写表达式。

$f' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{1}{2}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

解题步骤 6.2.1.7

组合 $3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 6 (- \frac{1}{2}) - 12$

解题步骤 6.2.1.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.8.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 6 (\frac{- 1}{2}) - 12$

解题步骤 6.2.1.8.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 (3) (\frac{- 1}{2}) - 12$

解题步骤 6.2.1.8.3

约去公因数。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2})) - 12$

解题步骤 6.2.1.8.4

重写表达式。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 3 \cdot - 1 - 12$

解题步骤 6.2.1.9

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 3 - 12$

解题步骤 6.2.2

求公分母。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $- 3$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} - 12$

解题步骤 6.2.2.2

将 $\frac{- 3}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{2}{2} - 12$

解题步骤 6.2.2.3

将 $\frac{- 3}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - 12$

解题步骤 6.2.2.4

将 $- 12$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12}{1}$

解题步骤 6.2.2.5

将 $\frac{- 12}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12}{1} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 6.2.2.6

将 $\frac{- 12}{1}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 12 \cdot 2}{2}$

解题步骤 6.2.3

在公分母上合并分子。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 3 \cdot 2 - 12 \cdot 2}{2}$

解题步骤 6.2.4

化简每一项。

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解题步骤 6.2.4.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 12 \cdot 2}{2}$

解题步骤 6.2.4.2

将 $- 12$ 乘以 $2$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 24}{2}$

解题步骤 6.2.5

化简表达式。

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解题步骤 6.2.5.1

从 $3$ 中减去 $6$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 - 24}{2}$

解题步骤 6.2.5.2

从 $- 3$ 中减去 $24$ 。

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 27}{2}$

解题步骤 6.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{27}{2}$

解题步骤 6.2.6

最终答案为 $- \frac{27}{2}$ 。

$- \frac{27}{2}$

解题步骤 6.3

在 $x = - \frac{1}{2}$ 处，导数为 $- \frac{27}{2}$ 。由于其值为负，函数在 $(- 2, 1)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- 2, 1)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(1, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = 6 {(2)}^{2} + 6 (2) - 12$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (2) = 6 \cdot 4 + 6 (2) - 12$

解题步骤 7.2.1.2

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$f' (2) = 24 + 6 (2) - 12$

解题步骤 7.2.1.3

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$f' (2) = 24 + 12 - 12$

解题步骤 7.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $24$ 和 $12$ 相加。

$f' (2) = 36 - 12$

解题步骤 7.2.2.2

从 $36$ 中减去 $12$ 。

$f' (2) = 24$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $24$ 。

$24$

解题步骤 7.3

在 $x = 2$ 处，导数为 $24$ 。由于其值为正，函数在 $(1, \infty)$ 上递增。

因为 $f' (x) > 0$ ，所以函数在 $(1, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递增区间： $(- \infty, - 2), (1, \infty)$

递减于： $(- 2, 1)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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