微积分学示例

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 3 (2 x)$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 6 x$ 。

$3 x^{2} - 6 x$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 6 x = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 6 x = 0$

解题步骤 2.2

从 $3 x^{2} - 6 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$3 x (x) - 6 x = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $3 x (x) + 3 x (- 2)$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$3 x (x - 2) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.6

最终解为使 $3 x (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 2$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{3} - 3 x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 3 {(0)}^{2}$

解题步骤 4.1.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 3 \cdot 0$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0$

解题步骤 4.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 4.2

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 - 3 {(2)}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 - 3 \cdot 4$

解题步骤 4.2.2.1.3

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$8 - 12$

解题步骤 4.2.2.2

从 $8$ 中减去 $12$ 。

$- 4$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(0, 0), (2, - 4)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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