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微积分学 示例
解题步骤 1
解题步骤 1.1
使用乘积法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 1.2
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 1.2.1
要使用链式法则,请将 设为 。
解题步骤 1.2.2
使用指数法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 =。
解题步骤 1.2.3
使用 替换所有出现的 。
解题步骤 1.3
求微分。
解题步骤 1.3.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 1.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 1.3.3
化简表达式。
解题步骤 1.3.3.1
将 乘以 。
解题步骤 1.3.3.2
将 移到 的左侧。
解题步骤 1.3.3.3
将 重写为 。
解题步骤 1.3.4
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 1.4
化简。
解题步骤 1.4.1
重新排序项。
解题步骤 1.4.2
将 中的因式重新排序。
解题步骤 2
解题步骤 2.1
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 2.2
计算 。
解题步骤 2.2.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 2.2.2
使用乘积法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 2.2.3
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 2.2.3.1
要使用链式法则,请将 设为 。
解题步骤 2.2.3.2
使用指数法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 =。
解题步骤 2.2.3.3
使用 替换所有出现的 。
解题步骤 2.2.4
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 2.2.5
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.2.6
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.2.7
将 乘以 。
解题步骤 2.2.8
将 移到 的左侧。
解题步骤 2.2.9
将 重写为 。
解题步骤 2.3
计算 。
解题步骤 2.3.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 2.3.2
使用乘积法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 2.3.3
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 2.3.3.1
要使用链式法则,请将 设为 。
解题步骤 2.3.3.2
使用指数法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 =。
解题步骤 2.3.3.3
使用 替换所有出现的 。
解题步骤 2.3.4
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 2.3.5
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.3.6
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.3.7
将 乘以 。
解题步骤 2.3.8
将 移到 的左侧。
解题步骤 2.3.9
将 重写为 。
解题步骤 2.3.10
将 乘以 。
解题步骤 2.4
化简。
解题步骤 2.4.1
运用分配律。
解题步骤 2.4.2
运用分配律。
解题步骤 2.4.3
合并项。
解题步骤 2.4.3.1
将 乘以 。
解题步骤 2.4.3.2
将 乘以 。
解题步骤 2.4.3.3
将 乘以 。
解题步骤 2.4.3.4
将 乘以 。
解题步骤 2.4.3.5
从 中减去 。
解题步骤 2.4.3.5.1
移动 。
解题步骤 2.4.3.5.2
从 中减去 。
解题步骤 2.4.4
重新排序项。
解题步骤 2.4.5
将 中的因式重新排序。
解题步骤 3
要求函数的极大值与极小值,请将导数设为等于 并求解。
解题步骤 4
解题步骤 4.1
求一阶导数。
解题步骤 4.1.1
使用乘积法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 4.1.2
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 4.1.2.1
要使用链式法则,请将 设为 。
解题步骤 4.1.2.2
使用指数法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 =。
解题步骤 4.1.2.3
使用 替换所有出现的 。
解题步骤 4.1.3
求微分。
解题步骤 4.1.3.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 4.1.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 4.1.3.3
化简表达式。
解题步骤 4.1.3.3.1
将 乘以 。
解题步骤 4.1.3.3.2
将 移到 的左侧。
解题步骤 4.1.3.3.3
将 重写为 。
解题步骤 4.1.3.4
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 4.1.4
化简。
解题步骤 4.1.4.1
重新排序项。
解题步骤 4.1.4.2
将 中的因式重新排序。
解题步骤 4.2
对 的一阶导数是 。
解题步骤 5
解题步骤 5.1
将一阶导数设为等于 。
解题步骤 5.2
从 中分解出因数 。
解题步骤 5.2.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 5.2.2
从 中分解出因数 。
解题步骤 5.2.3
从 中分解出因数 。
解题步骤 5.3
如果等式左侧的任一因数等于 ,则整个表达式将等于 。
解题步骤 5.4
将 设为等于 。
解题步骤 5.5
将 设为等于 并求解 。
解题步骤 5.5.1
将 设为等于 。
解题步骤 5.5.2
求解 的 。
解题步骤 5.5.2.1
取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。
解题步骤 5.5.2.2
因为 无意义,所以方程无解。
无定义
解题步骤 5.5.2.3
无解
无解
无解
无解
解题步骤 5.6
将 设为等于 并求解 。
解题步骤 5.6.1
将 设为等于 。
解题步骤 5.6.2
求解 的 。
解题步骤 5.6.2.1
从等式两边同时减去 。
解题步骤 5.6.2.2
将 中的每一项除以 并化简。
解题步骤 5.6.2.2.1
将 中的每一项都除以 。
解题步骤 5.6.2.2.2
化简左边。
解题步骤 5.6.2.2.2.1
将两个负数相除得到一个正数。
解题步骤 5.6.2.2.2.2
用 除以 。
解题步骤 5.6.2.2.3
化简右边。
解题步骤 5.6.2.2.3.1
用 除以 。
解题步骤 5.7
最终解为使 成立的所有值。
解题步骤 6
解题步骤 6.1
表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中,不存在使表达式无定义的实数。
解题步骤 7
要计算的驻点。
解题步骤 8
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 9
解题步骤 9.1
化简每一项。
解题步骤 9.1.1
对 进行任意正数次方的运算均得到 。
解题步骤 9.1.2
将 乘以 。
解题步骤 9.1.3
任何数的 次方都是 。
解题步骤 9.1.4
将 乘以 。
解题步骤 9.1.5
将 乘以 。
解题步骤 9.1.6
将 乘以 。
解题步骤 9.1.7
任何数的 次方都是 。
解题步骤 9.1.8
将 乘以 。
解题步骤 9.1.9
将 乘以 。
解题步骤 9.1.10
任何数的 次方都是 。
解题步骤 9.1.11
将 乘以 。
解题步骤 9.2
通过加上各数进行化简。
解题步骤 9.2.1
将 和 相加。
解题步骤 9.2.2
将 和 相加。
解题步骤 10
因为二阶导数的值为正数,所以 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极小值
解题步骤 11
解题步骤 11.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 11.2
化简结果。
解题步骤 11.2.1
对 进行任意正数次方的运算均得到 。
解题步骤 11.2.2
将 乘以 。
解题步骤 11.2.3
任何数的 次方都是 。
解题步骤 11.2.4
将 乘以 。
解题步骤 11.2.5
最终答案为 。
解题步骤 12
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 13
解题步骤 13.1
化简每一项。
解题步骤 13.1.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 13.1.2
将 乘以 。
解题步骤 13.1.3
使用负指数规则 重写表达式。
解题步骤 13.1.4
组合 和 。
解题步骤 13.1.5
将 乘以 。
解题步骤 13.1.6
将 乘以 。
解题步骤 13.1.7
使用负指数规则 重写表达式。
解题步骤 13.1.8
组合 和 。
解题步骤 13.1.9
将负号移到分数的前面。
解题步骤 13.1.10
将 乘以 。
解题步骤 13.1.11
使用负指数规则 重写表达式。
解题步骤 13.1.12
组合 和 。
解题步骤 13.2
合并分数。
解题步骤 13.2.1
在公分母上合并分子。
解题步骤 13.2.2
化简表达式。
解题步骤 13.2.2.1
从 中减去 。
解题步骤 13.2.2.2
将 和 相加。
解题步骤 13.2.2.3
将负号移到分数的前面。
解题步骤 14
因为二阶导数的值为负数,所以 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极大值
解题步骤 15
解题步骤 15.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 15.2
化简结果。
解题步骤 15.2.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 15.2.2
将 乘以 。
解题步骤 15.2.3
使用负指数规则 重写表达式。
解题步骤 15.2.4
组合 和 。
解题步骤 15.2.5
最终答案为 。
解题步骤 16
这些是 的局部极值。
是一个局部最小值
是一个局部最大值
解题步骤 17