微积分学示例

$f (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 1 - 20 x + 5 x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - 20 x + 5 x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

解题步骤 1.1.3

使用 $1 - 20 x + 5 x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $1 - 20 x + 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

解题步骤 1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

解题步骤 1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ 相加。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

解题步骤 1.2.4

因为 $- 20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 20 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

解题步骤 1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

解题步骤 1.2.6

将 $- 20$ 乘以 $1$ 。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

解题步骤 1.2.7

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 (2 x))$

解题步骤 1.2.9

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ 且 $g (x) = - 20 + 10 x$ 。

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 20 + 10 x) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $- 20 + 10 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 20] + \frac{d}{d x} [10 x]$ 。

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} (- 20) + \frac{d}{d x} (10 x)) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

解题步骤 2.2.2

因为 $- 20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 20$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (10 x)) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

解题步骤 2.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [10 x]$ 相加。

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (10 x) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

解题步骤 2.2.4

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (10 \frac{d}{d x} (x)) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

解题步骤 2.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (10 \cdot 1) + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

解题步骤 2.2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \cdot 10 + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

解题步骤 2.2.6.2

将 $10$ 移到 $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ 的左侧。

$f'' (x) = 10 \cdot e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) \frac{d}{d x} (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}})$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 1 - 20 x + 5 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - 20 x + 5 x^{2}$ 。

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (1 - 20 x + 5 x^{2}))$

解题步骤 2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (e^{u} \frac{d}{d x} (1 - 20 x + 5 x^{2}))$

解题步骤 2.3.3

使用 $1 - 20 x + 5 x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (1 - 20 x + 5 x^{2}))$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

根据加法法则， $1 - 20 x + 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

解题步骤 2.4.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

解题步骤 2.4.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ 相加。

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

解题步骤 2.4.4

因为 $- 20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 20 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

解题步骤 2.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

解题步骤 2.4.6

将 $- 20$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

解题步骤 2.4.7

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 2.4.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 (2 x))$

解题步骤 2.4.9

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

解题步骤 2.5

对 $- 20 + 10 x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

解题步骤 2.6

对 $- 20 + 10 x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + (- 20 + 10 x) (- 20 + 10 x) e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

解题步骤 2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + {(- 20 + 10 x)}^{1 + 1} e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

解题步骤 2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} + {(- 20 + 10 x)}^{2} e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

解题步骤 2.9

重新排序项。

$f'' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} {(- 20 + 10 x)}^{2} + 10 e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 1 - 20 x + 5 x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - 20 x + 5 x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

解题步骤 4.1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

解题步骤 4.1.1.3

使用 $1 - 20 x + 5 x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 20 x + 5 x^{2}]$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $1 - 20 x + 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

解题步骤 4.1.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

解题步骤 4.1.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ 相加。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

解题步骤 4.1.2.4

因为 $- 20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 20 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

解题步骤 4.1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

解题步骤 4.1.2.6

将 $- 20$ 乘以 $1$ 。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

解题步骤 4.1.2.7

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 (2 x))$

解题步骤 4.1.2.9

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$ 。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$

解题步骤 5.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

$- 20 + 10 x = 0$

解题步骤 5.3

将 $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1

将 $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

解题步骤 5.3.2

求解 $x$ 的 $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}) = \ln (0)$

解题步骤 5.3.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 5.3.2.3

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$ 无解

无解

解题步骤 5.4

将 $- 20 + 10 x$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $- 20 + 10 x$ 设为等于 $0$ 。

$- 20 + 10 x = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $- 20 + 10 x = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

在等式两边都加上 $20$ 。

$10 x = 20$

解题步骤 5.4.2.2

将 $10 x = 20$ 中的每一项除以 $10$ 并化简。

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解题步骤 5.4.2.2.1

将 $10 x = 20$ 中的每一项都除以 $10$ 。

$\frac{10 x}{10} = \frac{20}{10}$

解题步骤 5.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.2.2.1

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{10 x}{10} = \frac{20}{10}$

解题步骤 5.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{20}{10}$

解题步骤 5.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.2.3.1

用 $20$ 除以 $10$ 。

$x = 2$

解题步骤 5.5

最终解为使 $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 2$

解题步骤 8

计算在 $x = 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1.1

将 $- 20$ 乘以 $2$ 。

$e^{1 - 40 + 5 {(2)}^{2}} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

解题步骤 9.1.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$e^{1 - 40 + 5 \cdot 4} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

解题步骤 9.1.1.3

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$e^{1 - 40 + 20} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

解题步骤 9.1.2

从 $1$ 中减去 $40$ 。

$e^{- 39 + 20} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

解题步骤 9.1.3

将 $- 39$ 和 $20$ 相加。

$e^{- 19} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

解题步骤 9.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{e^{19}} {(- 20 + 10 (2))}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

解题步骤 9.1.5

将 $10$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{e^{19}} {(- 20 + 20)}^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

解题步骤 9.1.6

将 $- 20$ 和 $20$ 相加。

$\frac{1}{e^{19}} \cdot 0^{2} + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

解题步骤 9.1.7

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{e^{19}} \cdot 0 + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

解题步骤 9.1.8

将 $\frac{1}{e^{19}}$ 乘以 $0$ 。

$0 + 10 e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

解题步骤 9.1.9

化简每一项。

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解题步骤 9.1.9.1

将 $- 20$ 乘以 $2$ 。

$0 + 10 e^{1 - 40 + 5 {(2)}^{2}}$

解题步骤 9.1.9.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$0 + 10 e^{1 - 40 + 5 \cdot 4}$

解题步骤 9.1.9.3

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$0 + 10 e^{1 - 40 + 20}$

解题步骤 9.1.10

从 $1$ 中减去 $40$ 。

$0 + 10 e^{- 39 + 20}$

解题步骤 9.1.11

将 $- 39$ 和 $20$ 相加。

$0 + 10 e^{- 19}$

解题步骤 9.1.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$0 + 10 \frac{1}{e^{19}}$

解题步骤 9.1.13

组合 $10$ 和 $\frac{1}{e^{19}}$ 。

$0 + \frac{10}{e^{19}}$

解题步骤 9.2

将 $0$ 和 $\frac{10}{e^{19}}$ 相加。

$\frac{10}{e^{19}}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 2$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 2$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 2$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

将 $- 20$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = e^{1 - 40 + 5 {(2)}^{2}}$

解题步骤 11.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2) = e^{1 - 40 + 5 \cdot 4}$

解题步骤 11.2.1.3

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$f (2) = e^{1 - 40 + 20}$

解题步骤 11.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

从 $1$ 中减去 $40$ 。

$f (2) = e^{- 39 + 20}$

解题步骤 11.2.2.2

将 $- 39$ 和 $20$ 相加。

$f (2) = e^{- 19}$

解题步骤 11.2.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (2) = \frac{1}{e^{19}}$

解题步骤 11.2.4

最终答案为 $\frac{1}{e^{19}}$ 。

$y = \frac{1}{e^{19}}$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ 的局部极值。

$(2, \frac{1}{e^{19}})$ 是一个局部最小值

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例