微积分学示例

$\frac{\cos (x)}{x^{3}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2

将 ${(x^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$\frac{x^{3} (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{x^{3} (- \sin (x)) - \cos (x) (3 x^{2})}{x^{6}}$

解题步骤 4.2

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} (- \sin (x)) - 3 \cos (x) x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 4.2.2

从 $x^{3} (- \sin (x)) - 3 \cos (x) x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $x^{3} (- \sin (x))$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x))) - 3 \cos (x) x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 4.2.2.2

从 $- 3 \cos (x) x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x))) + x^{2} (- 3 \cos (x))}{x^{6}}$

解题步骤 4.2.2.3

从 $x^{2} (x (- \sin (x))) + x^{2} (- 3 \cos (x))$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x)) - 3 \cos (x))}{x^{6}}$

解题步骤 5

约去公因数。

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解题步骤 5.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x)) - 3 \cos (x))}{x^{2} x^{4}}$

解题步骤 5.2

约去公因数。

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x)) - 3 \cos (x))}{x^{2} x^{4}}$

解题步骤 5.3

重写表达式。

$\frac{x (- \sin (x)) - 3 \cos (x)}{x^{4}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- x \sin (x) - 3 \cos (x)}{x^{4}}$

解题步骤 6.2

从 $- x \sin (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x \sin (x)) - 3 \cos (x)}{x^{4}}$

解题步骤 6.3

从 $- 3 \cos (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x \sin (x)) - (3 \cos (x))}{x^{4}}$

解题步骤 6.4

从 $- (x \sin (x)) - (3 \cos (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x \sin (x) + 3 \cos (x))}{x^{4}}$

解题步骤 6.5

将 $- (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ 重写为 $- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ 。

$\frac{- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x))}{x^{4}}$

解题步骤 6.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x \sin (x) + 3 \cos (x)}{x^{4}}$

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