微积分学示例

$\sqrt{r} + \sqrt[5]{R}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\sqrt{r} + \sqrt[5]{R}$ 对 $r$ 的导数是 $\frac{d}{d r} [\sqrt{r}] + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{R}]$ 。

$\frac{d}{d r} [\sqrt{r}] + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{R}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d r} [\sqrt{r}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{r}$ 重写成 $r^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d r} [r^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{R}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 等于 $n r^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{R}]$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{R}]$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} r^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{R}]$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} r^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{R}]$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} r^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{R}]$

解题步骤 2.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} r^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{R}]$

解题步骤 2.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d r} [\sqrt[5]{R}]$

解题步骤 3

因为 $\sqrt[5]{R}$ 对于 $r$ 是常数，所以 $\sqrt[5]{R}$ 对 $r$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} r^{- \frac{1}{2}} + 0$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{r^{\frac{1}{2}}} + 0$

解题步骤 4.2

合并项。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{r^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}} + 0$

解题步骤 4.2.2

将 $\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 r^{\frac{1}{2}}}$

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