微积分学示例

$\ln (x \sqrt{x^{2} - 1})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} - 1}$ 重写成 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln (x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

使用 $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{2} - 1$ 。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

使用 $x^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 9

合并分数。

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解题步骤 9.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 9.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 9.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 9.4

组合 $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 10

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 13

合并分数。

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解题步骤 13.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 13.2

组合 $2$ 和 $\frac{x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 13.3

组合 $\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 14

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 17

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 17.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 17.2

约去公因数。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 17.3

重写表达式。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 18

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

解题步骤 19

将 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 20

要将 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 21

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22

通过指数相加将 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 22.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.2

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 22.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + {(x^{2} - 1)}^{1}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 23

化简 ${(x^{2} - 1)}^{1}$ 。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{2} + x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 24

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 25

将 $\frac{1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{2 x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 26

通过指数相加将 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 26.1

移动 ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 26.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 26.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

解题步骤 26.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 26.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x {(x^{2} - 1)}^{1}}$

解题步骤 27

化简 $x {(x^{2} - 1)}^{1}$ 。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x (x^{2} - 1)}$

解题步骤 28

化简。

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解题步骤 28.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

解题步骤 28.2

合并项。

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解题步骤 28.2.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 28.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 28.2.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{1} x^{2} + x \cdot - 1}$

解题步骤 28.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{1 + 2} + x \cdot - 1}$

解题步骤 28.2.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{3} + x \cdot - 1}$

解题步骤 28.2.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{3} - 1 \cdot x}$

解题步骤 28.2.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\frac{2 x^{2} - 1}{x^{3} - x}$

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