微积分学示例

${(x + y)}^{3} = x^{3} + y^{3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{3}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x + y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + y]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(x + y)}^{2} \frac{d}{d x} [x + y]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $x + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$3 {(x + y)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(x + y)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 {(x + y)}^{2} (1 + y')$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$3 {(x + y)}^{2} \cdot 1 + 3 {(x + y)}^{2} y'$

解题步骤 2.4.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 {(x + y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

求微分。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $x^{3} + y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 {(x + y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将 $3 {(x + y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} y'$ 中的因式重新排序。

$3 {(x + y)}^{2} + 3 y' {(x + y)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

解题步骤 5.2

将所有包含 $y'$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $3 y^{2} y'$ 。

$3 {(x + y)}^{2} + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

解题步骤 5.2.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1

将 ${(x + y)}^{2}$ 重写为 $(x + y) (x + y)$ 。

$3 ((x + y) (x + y)) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

解题步骤 5.2.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + y) (x + y)$ 。

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解题步骤 5.2.2.2.1

运用分配律。

$3 (x (x + y) + y (x + y)) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

解题步骤 5.2.2.2.2

运用分配律。

$3 (x \cdot x + x y + y (x + y)) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

解题步骤 5.2.2.2.3

运用分配律。

$3 (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

解题步骤 5.2.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$3 (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

解题步骤 5.2.2.3.1.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$3 (x^{2} + x y + y x + y^{2}) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

解题步骤 5.2.2.3.2

将 $x y$ 和 $y x$ 相加。

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解题步骤 5.2.2.3.2.1

将 $y$ 和 $x$ 重新排序。

$3 (x^{2} + x y + x y + y^{2}) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

解题步骤 5.2.2.3.2.2

将 $x y$ 和 $x y$ 相加。

$3 (x^{2} + 2 x y + y^{2}) + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

解题步骤 5.2.2.4

运用分配律。

$3 x^{2} + 3 (2 x y) + 3 y^{2} + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

解题步骤 5.2.2.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$3 x^{2} + 6 (x y) + 3 y^{2} + 3 y' {(x + y)}^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

解题步骤 5.2.2.6

将 ${(x + y)}^{2}$ 重写为 $(x + y) (x + y)$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' ((x + y) (x + y)) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

解题步骤 5.2.2.7

使用 FOIL 方法展开 $(x + y) (x + y)$ 。

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解题步骤 5.2.2.7.1

运用分配律。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x (x + y) + y (x + y)) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

解题步骤 5.2.2.7.2

运用分配律。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x \cdot x + x y + y (x + y)) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

解题步骤 5.2.2.7.3

运用分配律。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

解题步骤 5.2.2.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.8.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

解题步骤 5.2.2.8.1.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x^{2} + x y + y x + y^{2}) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

解题步骤 5.2.2.8.2

将 $x y$ 和 $y x$ 相加。

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解题步骤 5.2.2.8.2.1

将 $y$ 和 $x$ 重新排序。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x^{2} + x y + x y + y^{2}) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

解题步骤 5.2.2.8.2.2

将 $x y$ 和 $x y$ 相加。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' (x^{2} + 2 x y + y^{2}) - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

解题步骤 5.2.2.9

运用分配律。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 3 y' (2 x y) + 3 y' y^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

解题步骤 5.2.2.10

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y + 3 y' y^{2} - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

解题步骤 5.2.3

合并 $3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y + 3 y' y^{2} - 3 y^{2} y'$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.3.1

按照 $3 y' y^{2}$ 和 $- 3 y^{2} y'$ 重新排列因数。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y + 3 y^{2} y' - 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

解题步骤 5.2.3.2

从 $3 y^{2} y'$ 中减去 $3 y^{2} y'$ 。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y + 0 = 3 x^{2}$

解题步骤 5.2.3.3

将 $3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y = 3 x^{2}$

解题步骤 5.3

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.3.1

从等式两边同时减去 $3 x^{2}$ 。

$6 x y + 3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y = 3 x^{2} - 3 x^{2}$

解题步骤 5.3.2

从等式两边同时减去 $6 x y$ 。

$3 y^{2} + 3 y' x^{2} + 6 y' x y = 3 x^{2} - 3 x^{2} - 6 x y$

解题步骤 5.3.3

从等式两边同时减去 $3 y^{2}$ 。

$3 y' x^{2} + 6 y' x y = 3 x^{2} - 3 x^{2} - 6 x y - 3 y^{2}$

解题步骤 5.3.4

从 $3 x^{2}$ 中减去 $3 x^{2}$ 。

$3 y' x^{2} + 6 y' x y = 0 - 6 x y - 3 y^{2}$

解题步骤 5.3.5

从 $0$ 中减去 $6 x y$ 。

$3 y' x^{2} + 6 y' x y = - 6 x y - 3 y^{2}$

解题步骤 5.4

从 $3 y' x^{2} + 6 y' x y$ 中分解出因数 $3 y' x$ 。

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解题步骤 5.4.1

从 $3 y' x^{2}$ 中分解出因数 $3 y' x$ 。

$3 y' x \cdot x + 6 y' x y = - 6 x y - 3 y^{2}$

解题步骤 5.4.2

从 $6 y' x y$ 中分解出因数 $3 y' x$ 。

$3 y' x \cdot x + 3 y' x (2 y) = - 6 x y - 3 y^{2}$

解题步骤 5.4.3

从 $3 y' x \cdot x + 3 y' x (2 y)$ 中分解出因数 $3 y' x$ 。

$3 y' x (x + 2 y) = - 6 x y - 3 y^{2}$

解题步骤 5.5

将 $3 y' x (x + 2 y) = - 6 x y - 3 y^{2}$ 中的每一项除以 $3 x (x + 2 y)$ 并化简。

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解题步骤 5.5.1

将 $3 y' x (x + 2 y) = - 6 x y - 3 y^{2}$ 中的每一项都除以 $3 x (x + 2 y)$ 。

$\frac{3 y' x (x + 2 y)}{3 x (x + 2 y)} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y' x (x + 2 y)}{3 x (x + 2 y)} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' x (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' x (x + 2 y)}{x (x + 2 y)} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.2.2.2

重写表达式。

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.2.3

约去 $x + 2 y$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.2.3.1

约去公因数。

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.2.3.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 6 x y}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.3.1.1

约去 $- 6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.1.1

从 $- 6 x y$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = \frac{3 (- 2 x y)}{3 x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.1.2.1

从 $3 x (x + 2 y)$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x (x + 2 y))} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{3 (- 2 x y)}{3 (x (x + 2 y))} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.3.1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{- 2 x y}{x (x + 2 y)} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.3.1.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{- 2 y}{x + 2 y} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.3.1.4

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.4.1

从 $- 3 y^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{3 (- y^{2})}{3 x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.3.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.5.3.1.4.2.1

从 $3 x (x + 2 y)$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{3 (- y^{2})}{3 (x (x + 2 y))}$

解题步骤 5.5.3.1.4.2.2

约去公因数。

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{3 (- y^{2})}{3 (x (x + 2 y))}$

解题步骤 5.5.3.1.4.2.3

重写表达式。

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} + \frac{- y^{2}}{x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.3.1.5

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.3.2

要将 $- \frac{2 y}{x + 2 y}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y' = - \frac{2 y}{x + 2 y} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + 2 y) x$ 的形式。

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解题步骤 5.5.3.3.1

将 $\frac{2 y}{x + 2 y}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y' = - \frac{2 y x}{(x + 2 y) x} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.3.3.2

重新排序 $(x + 2 y) x$ 的因式。

$y' = - \frac{2 y x}{x (x + 2 y)} - \frac{y^{2}}{x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.3.4

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 2 y x - y^{2}}{x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.3.5

从 $- 2 y x - y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 5.5.3.5.1

从 $- 2 y x$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (- 2 x) - y^{2}}{x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.3.5.2

从 $- y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (- 2 x) + y (- y)}{x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.3.5.3

从 $y (- 2 x) + y (- y)$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{y (- 2 x - y)}{x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.3.6

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y (- (2 x) - y)}{x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.3.7

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y (- (2 x) - (y))}{x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.3.8

从 $- (2 x) - (y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{y (- (2 x + y))}{x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.3.9

化简表达式。

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解题步骤 5.5.3.9.1

将 $- (2 x + y)$ 重写为 $- 1 (2 x + y)$ 。

$y' = \frac{y (- 1 (2 x + y))}{x (x + 2 y)}$

解题步骤 5.5.3.9.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{y (2 x + y)}{x (x + 2 y)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 x + y)}{x (x + 2 y)}$

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