微积分学示例

$2 x^{3} + x^{2} y - x y^{3} = 2$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (2 x^{3} + x^{2} y - x y^{3}) = \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x^{3} + x^{2} y - x y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

$6 x^{2} + x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$6 x^{2} + x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 x^{2} + x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

解题步骤 2.3.4

将 $2$ 移到 $y$ 的左侧。

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ 。

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

解题步骤 2.4.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y^{3}$ 。

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.3.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.4

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1)$

解题步骤 2.4.6

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

解题步骤 2.4.7

将 $y^{3}$ 乘以 $1$ 。

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (3 x y^{2} y' + y^{3})$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - (3 x y^{2} y') - y^{3}$

解题步骤 2.5.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 y x - 3 x y^{2} y' - y^{3}$

解题步骤 2.5.3

重新排序项。

$- y^{3} + 6 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y'$

解题步骤 3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- y^{3} + 6 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y' = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

在等式两边都加上 $y^{3}$ 。

$6 x^{2} + x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y' = y^{3}$

解题步骤 5.1.2

从等式两边同时减去 $6 x^{2}$ 。

$x^{2} y' + 2 x y - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 6 x^{2}$

解题步骤 5.1.3

从等式两边同时减去 $2 x y$ 。

$x^{2} y' - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

解题步骤 5.2

从 $x^{2} y' - 3 y^{2} x y'$ 中分解出因数 $x y'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $x^{2} y'$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' x - 3 y^{2} x y' = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

解题步骤 5.2.2

从 $- 3 y^{2} x y'$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' x + x y' (- 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

解题步骤 5.2.3

从 $x y' x + x y' (- 3 y^{2})$ 中分解出因数 $x y'$ 。

$x y' (x - 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$

解题步骤 5.3

将 $x y' (x - 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$ 中的每一项除以 $x (x - 3 y^{2})$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $x y' (x - 3 y^{2}) = y^{3} - 6 x^{2} - 2 x y$ 中的每一项都除以 $x (x - 3 y^{2})$ 。

$\frac{x y' (x - 3 y^{2})}{x (x - 3 y^{2})} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y' (x - 3 y^{2})}{x (x - 3 y^{2})} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

解题步骤 5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (x - 3 y^{2})}{x - 3 y^{2}} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $x - 3 y^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (x - 3 y^{2})}{x - 3 y^{2}} = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1.1

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.1

从 $- 6 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{x (- 6 x)}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{x (- 6 x)}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} + \frac{- 6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.1.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.3.1

约去公因数。

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 x y}{x (x - 3 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.1.3.2

重写表达式。

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} + \frac{- 2 y}{x - 3 y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.1.4

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.2

要将 $- \frac{6 x}{x - 3 y^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x}{x - 3 y^{2}} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x (x - 3 y^{2})$ 的形式。

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解题步骤 5.3.3.3.1

将 $\frac{6 x}{x - 3 y^{2}}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x \cdot x}{(x - 3 y^{2}) x} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.3.2

重新排序 $(x - 3 y^{2}) x$ 的因式。

$y' = \frac{y^{3}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{6 x \cdot x}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.4

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{y^{3} - 6 x \cdot x}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.3.5.1

移动 $x$ 。

$y' = \frac{y^{3} - 6 (x \cdot x)}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$

解题步骤 5.3.3.6

要将 $- \frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y}{x - 3 y^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

解题步骤 5.3.3.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $x (x - 3 y^{2})$ 的形式。

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解题步骤 5.3.3.7.1

将 $\frac{2 y}{x - 3 y^{2}}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y x}{(x - 3 y^{2}) x}$

解题步骤 5.3.3.7.2

重新排序 $(x - 3 y^{2}) x$ 的因式。

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2}}{x (x - 3 y^{2})} - \frac{2 y x}{x (x - 3 y^{2})}$

解题步骤 5.3.3.8

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{y^{3} - 6 x^{2} - 2 y x}{x (x - 3 y^{2})}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{3} - 6 x^{2} - 2 y x}{x (x - 3 y^{2})}$

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