微积分学示例

$\tan (x + y) = x$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\tan (x + y)) = \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = x + y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + y$ 。

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

解题步骤 2.1.2

$\tan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ 。

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x + y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\sec^{2} (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $x + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\sec^{2} (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\sec^{2} (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\sec^{2} (x + y) (1 + y')$

解题步骤 3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$ 中的每一项除以 $\sec^{2} (x + y)$ 并化简。

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解题步骤 5.1.1

将 $\sec^{2} (x + y) (1 + y') = 1$ 中的每一项都除以 $\sec^{2} (x + y)$ 。

$\frac{\sec^{2} (x + y) (1 + y')}{\sec^{2} (x + y)} = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

解题步骤 5.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.1.2.1

约去 $\sec^{2} (x + y)$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{\sec^{2} (x + y) (1 + y')}{\sec^{2} (x + y)} = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

解题步骤 5.1.2.1.2

用 $1 + y'$ 除以 $1$ 。

$1 + y' = \frac{1}{\sec^{2} (x + y)}$

解题步骤 5.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.1.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$1 + y' = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (x + y)}$

解题步骤 5.1.3.2

将 $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (x + y)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\sec (x + y)})}^{2}$ 。

$1 + y' = {(\frac{1}{\sec (x + y)})}^{2}$

解题步骤 5.1.3.3

将 $\sec (x + y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$1 + y' = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (x + y)}})}^{2}$

解题步骤 5.1.3.4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (x + y)}$ 。

$1 + y' = {(1 \cos (x + y))}^{2}$

解题步骤 5.1.3.5

将 $\cos (x + y)$ 乘以 $1$ 。

$1 + y' = \cos^{2} (x + y)$

解题步骤 5.2

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y' = \cos^{2} (x + y) - 1$

解题步骤 5.2.2

将 $\cos^{2} (x + y)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$y' = - 1 + \cos^{2} (x + y)$

解题步骤 5.2.3

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$y' = - 1 (1) + \cos^{2} (x + y)$

解题步骤 5.2.4

从 $\cos^{2} (x + y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x + y))$

解题步骤 5.2.5

从 $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x + y))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = - 1 (1 - \cos^{2} (x + y))$

解题步骤 5.2.6

将 $- 1 (1 - \cos^{2} (x + y))$ 重写为 $- (1 - \cos^{2} (x + y))$ 。

$y' = - (1 - \cos^{2} (x + y))$

解题步骤 5.2.7

使用勾股恒等式。

$y' = - \sin^{2} (x + y)$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \sin^{2} (x + y)$

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