微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \sin (2 x) d x$

解题步骤 1

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 1.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{8}$

解题步骤 1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (4)}$

解题步骤 1.5.2

约去公因数。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 4}$

解题步骤 1.5.3

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合 $\sin (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin (u)}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (u) d u$

解题步骤 4

$\sin (u)$ 对 $u$ 的积分为 $- \cos (u)$ 。

$\frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

解题步骤 5

计算 $- \cos (u)$ 在 $\frac{π}{4}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{2} (- \cos (\frac{π}{4}) + \cos (0))$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (0))$

解题步骤 6.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 7.2

乘以 $\frac{1}{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 。

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解题步骤 7.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 7.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1$

解题步骤 7.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}$

小数形式：

$0.14644660 \dots$

微积分学 示例

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