微积分学示例

$\int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

解题步骤 3

代入并化简。

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解题步骤 3.1

计算 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1

约去公因数。

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.3.2

重写表达式。

$\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.5

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $8$ 。

$\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.6

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 3.2.7

一的任意次幂都为一。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

解题步骤 3.2.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3}$

解题步骤 3.2.9

在公分母上合并分子。

$\frac{16 - 2}{3}$

解题步骤 3.2.10

从 $16$ 中减去 $2$ 。

$\frac{14}{3}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{14}{3}$

小数形式：

$4.\overline{6}$

带分数形式：

$4 \frac{2}{3}$

解题步骤 5

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