微积分学示例

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 1$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x^{2} + 1) (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$(x^{2} + 1) (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 移到 $x^{2} + 1$ 的左侧。

$2 \cdot (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (2 x + 0)$

解题步骤 2.8

化简表达式。

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解题步骤 2.8.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 (x^{2} + 1) x + (x^{2} - 1) (2 x)$

解题步骤 2.8.2

将 $2$ 移到 $x^{2} - 1$ 的左侧。

$2 (x^{2} + 1) x + 2 \cdot (x^{2} - 1) x$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x + 2 (x^{2} - 1) x$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + 2 (x^{2} - 1) x$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + (2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x$

解题步骤 3.4

运用分配律。

$2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

解题步骤 3.5

合并项。

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解题步骤 3.5.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

解题步骤 3.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$2 x^{3} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

解题步骤 3.5.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x$

解题步骤 3.5.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x^{3} + 2 x + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 1 x$

解题步骤 3.5.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 1 x$

解题步骤 3.5.7

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3} + 2 \cdot - 1 x$

解题步骤 3.5.8

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3} - 2 x$

解题步骤 3.5.9

将 $2 x^{3}$ 和 $2 x^{3}$ 相加。

$4 x^{3} + 2 x - 2 x$

解题步骤 3.5.10

从 $2 x$ 中减去 $2 x$ 。

$4 x^{3} + 0$

解题步骤 3.5.11

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3}$

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