微积分学示例

$\frac{x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} \cdot 1 + 1 \cdot 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

化简分子。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + 1 \cdot 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{2} + 1 - 1 \cdot 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 1 - 1 \cdot 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{- x^{2} + 1^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

将 $- x^{2}$ 和 $1^{2}$ 重新排序。

$\frac{1^{2} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

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