微积分学示例

$\frac{x^{3} + x + 1}{x}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{3} + x + 1$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + x + 1] - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{3} + x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x (3 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x (3 x^{2} + 1 + 0) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.5

将 $3 x^{2} + 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x (3 x^{2} + 1) - (x^{3} + x + 1)}{x^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 1 - (x^{3} + x + 1)}{x^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{x (3 x^{2}) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 x \cdot x^{2} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{3 (x^{2} x) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 x^{2 + 1} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 x^{3} + x \cdot 1 - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x^{3} + x - x^{3} - x - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 x^{3} + x - x^{3} - x - 1}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.2

合并 $3 x^{3} + x - x^{3} - x - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.2.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{3 x^{3} - x^{3} + 0 - 1}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $3 x^{3} - x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - 1}{x^{2}}$

解题步骤 3.3.3

从 $3 x^{3}$ 中减去 $x^{3}$ 。

$\frac{2 x^{3} - 1}{x^{2}}$

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