微积分学示例

$- \frac{1}{{(2 + t)}^{2}}$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = - 1$ 且 $g (t) = \frac{1}{{(2 + t)}^{2}}$ 。

$- \frac{d}{d t} [\frac{1}{{(2 + t)}^{2}}] + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{{(2 + t)}^{2}}$ 重写为 ${({(2 + t)}^{2})}^{- 1}$ 。

$- \frac{d}{d t} [{({(2 + t)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.2

将 ${({(2 + t)}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{d}{d t} [{(2 + t)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{d}{d t} [{(2 + t)}^{- 2}] + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{- 2}$ 且 $g (t) = 2 + t$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 + t$ 。

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d t} [2 + t]) + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$- (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d t} [2 + t]) + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 3.3

使用 $2 + t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- (- 2 {(2 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [2 + t]) + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 ({(2 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [2 + t]) + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 4.2

根据加法法则， $2 + t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 {(2 + t)}^{- 3} (\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 4.3

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$2 {(2 + t)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d t} [t]) + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 4.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [t]$ 相加。

$2 {(2 + t)}^{- 3} \frac{d}{d t} [t] + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 {(2 + t)}^{- 3} \cdot 1 + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 4.6

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 {(2 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \frac{d}{d t} [- 1]$

解题步骤 4.7

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$2 {(2 + t)}^{- 3} + \frac{1}{{(2 + t)}^{2}} \cdot 0$

解题步骤 4.8

化简表达式。

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解题步骤 4.8.1

将 $\frac{1}{{(2 + t)}^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$2 {(2 + t)}^{- 3} + 0$

解题步骤 4.8.2

将 $2 {(2 + t)}^{- 3}$ 和 $0$ 相加。

$2 {(2 + t)}^{- 3}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 \frac{1}{{(2 + t)}^{3}}$

解题步骤 5.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{{(2 + t)}^{3}}$ 。

$\frac{2}{{(2 + t)}^{3}}$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$\frac{2}{{(t + 2)}^{3}}$

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