微积分学示例

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - {(5 - 3 x)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $- {(5 - 3 x)}^{2}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- {(5 - 3 x)}^{2}]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- {(5 - 3 x)}^{2}]$

解题步骤 1.3

使用 $- {(5 - 3 x)}^{2}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- {(5 - 3 x)}^{2}]$

解题步骤 2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- {(5 - 3 x)}^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x)}^{2}]$ 。

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x)}^{2}])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 5 - 3 x$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $5 - 3 x$ 。

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [5 - 3 x]))$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- (2 u_{2} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]))$

解题步骤 3.3

使用 $5 - 3 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- (2 (5 - 3 x) \frac{d}{d x} [5 - 3 x]))$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- 2 ((5 - 3 x) \frac{d}{d x} [5 - 3 x]))$

解题步骤 4.2

根据加法法则， $5 - 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- 2 (5 - 3 x) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

解题步骤 4.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- 2 (5 - 3 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

解题步骤 4.4

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 相加。

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- 2 (5 - 3 x) \frac{d}{d x} [- 3 x])$

解题步骤 4.5

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (- 2 (5 - 3 x) (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 4.6

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (6 (5 - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (6 (5 - 3 x) \cdot 1)$

解题步骤 4.8

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (6 (5 - 3 x))$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (6 \cdot 5 + 6 (- 3 x))$

解题步骤 5.2

合并项。

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解题步骤 5.2.1

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (30 + 6 (- 3 x))$

解题步骤 5.2.2

将 $- 3$ 乘以 $6$ 。

$e^{- {(5 - 3 x)}^{2}} (30 - 18 x)$

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