微积分学示例

$x^{\cos (x)}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1

将 $x^{\cos (x)}$ 重写为 $e^{\ln (x^{\cos (x)})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\cos (x)})}]$

解题步骤 1.2

通过将 $\cos (x)$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{\cos (x)})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (x) \ln (x)}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \cos (x) \ln (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x) \ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

解题步骤 2.3

使用 $\cos (x) \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{\cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 4

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 5

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 6

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$e^{\cos (x) \ln (x)} \frac{\cos (x)}{x} + e^{\cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 7.2

组合 $e^{\cos (x) \ln (x)}$ 和 $\frac{\cos (x)}{x}$ 。

$\frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x} + e^{\cos (x) \ln (x)} \ln (x) (- \sin (x))$

解题步骤 7.3

重新排序项。

$- e^{\cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$

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