微积分学示例

$\tan^{2} (x^{4} + 1)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \tan (x^{4} + 1)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\tan (x^{4} + 1)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x^{4} + 1)]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (x^{4} + 1)]$

解题步骤 1.3

使用 $\tan (x^{4} + 1)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \tan (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [\tan (x^{4} + 1)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = x^{4} + 1$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{4} + 1$ 。

$2 \tan (x^{4} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

解题步骤 2.2

$\tan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{2})$ 。

$2 \tan (x^{4} + 1) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

解题步骤 2.3

使用 $x^{4} + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$2 \tan (x^{4} + 1) (\sec^{2} (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4} + 1])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{4} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$2 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$2 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) (4 x^{3} + 0)$

解题步骤 3.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.1

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$2 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) (4 x^{3})$

解题步骤 3.4.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$8 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) x^{3}$

解题步骤 3.4.3

重新排序 $8 \tan (x^{4} + 1) \sec^{2} (x^{4} + 1) x^{3}$ 的因式。

$8 x^{3} \sec^{2} (x^{4} + 1) \tan (x^{4} + 1)$

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