微积分学示例

$\int \ln^{2} (t) d t$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln^{2} (t)$ ， $d v = 1$ 。

$\ln^{2} (t) t - \int t \frac{\ln (t^{2})}{t} d t$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $t$ 和 $\frac{\ln (t^{2})}{t}$ 。

$\ln^{2} (t) t - \int \frac{t \ln (t^{2})}{t} d t$

解题步骤 2.2

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$\ln^{2} (t) t - \int \frac{t \ln (t^{2})}{t} d t$

解题步骤 2.2.2

用 $\ln (t^{2})$ 除以 $1$ 。

$\ln^{2} (t) t - \int \ln (t^{2}) d t$

解题步骤 3

将 $\ln (t^{2})$ 重写为 $2 \ln (t)$ 。

$\ln^{2} (t) t - \int 2 \ln (t) d t$

解题步骤 4

由于 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\ln^{2} (t) t - (2 \int \ln (t) d t)$

解题步骤 5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln^{2} (t) t - 2 \int \ln (t) d t$

解题步骤 6

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (t)$ ， $d v = 1$ 。

$\ln^{2} (t) t - 2 (\ln (t) t - \int t \frac{1}{t} d t)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $t$ 和 $\frac{1}{t}$ 。

$\ln^{2} (t) t - 2 (\ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t)$

解题步骤 7.2

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

约去公因数。

$\ln^{2} (t) t - 2 (\ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t)$

解题步骤 7.2.2

重写表达式。

$\ln^{2} (t) t - 2 (\ln (t) t - \int d t)$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$\ln^{2} (t) t - 2 (\ln (t) t - (t + C))$

解题步骤 9

将 $\ln^{2} (t) t - 2 (\ln (t) t - (t + C))$ 重写为 $\ln^{2} (t) t - 2 \ln (t) t + 2 t + C$ 。

$\ln^{2} (t) t - 2 \ln (t) t + 2 t + C$

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